暇つぶしに見て 大小関係の雰囲気
まだ論理学の範疇をウロウロしてる段階ですが、参考にしている本の中で大小関係の説明があったので、その文脈で大小関係を僕が解釈できるか挑戦します。 大小関係の雰囲気だけ 加法とし大小関係 本の中では下のような論理式で定義されています。 3>1⇔...
暇つぶしに見て
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て 一般化の雰囲気
∃除去の話の続き。∃除去、導入の推論規則を読んだだけだと、どうしてそれが必要なのかが感じられない。なんとなく、人が法則を一般化させる認識が根底にはあるんだろうな、とは感じられますが、しっくりはこない。 一般化の雰囲気 参考にしている本にこん...
暇つぶしに見て 全称命題と存在命題の関係
wikiにこうあります。 全称命題は、存在命題の否定と論理的に等値である。Wikipedia これを確かめたい。 全称命題否定と存在命題 証明 wikiの文章だけだと意味が捉えにくいので、僕なりの解釈で翻訳してみると恐らくは「命題Pを満たす...
暇つぶしに見て 存在除去の認識
存在除去 定義 ∃x∈X:A(x)⊢A(c)WIIS 命題Aを満たす集合Xの元xが存在する場合、∃の除去は妥当な推論である。またしても分かったような分からんような。 証明の途中で命題の定義を満たすような何がが演繹できたらってことなのだと思い...
暇つぶしに見て 全称除去の定義と練習問題
述語論理における全称記号∀を取り除く推論規則を見ていきます。 別名を普遍例化と呼ぶようです。 全称除去(普遍例化) 定義 例:「全ての犬は動物である。ポチは犬である。従って、ポチは動物である」ある項 a について公理スキーマとして記号的に表...
暇つぶしに見て 全称導入の練習問題
やりながら全称導入の理解を深めます。 全称導入 ∀x∀yP(x, y) ⊢ ∀y∀xP(x, y) 1.∀x∀yP(x, y)(前提)2.∀yP(x,y)(∀除去)3.P(x,y)(∀除去)4.∀xP(y)(∀導入)5.P(y,x)(∀導入...
暇つぶしに見て 全称導入と仮定の解消
∀導入定義の人の認識を結びつけるために藻掻きます。 全称導入と仮定の解消 定義 これが全称導入の定義 A(c)⊢∀x∈X:A(x)WIIS A(c)の論理式を満たすようなcは集合Xの任意の要素xに対しても成立する。cは全てのXの要素を表現す...
暇つぶしに見て 含意の結合法則
結合法則は(A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)のようなかっこの位置を入れ替えても意味が変わらない法則。含意にも成り立つのか確かめてみます。 含意の結合法則 証明 1.(A→B)→C(仮定)2.¬(¬A∨B)∨C(同値変形)3.A∧¬B∨C(ド・モ...
暇つぶしに見て ∀除去練習問題
∀除去の理解が曖昧なので練習問題やります。やってれば何か掴んでくるだろうってことで。 全称除去 練習問題 その1 P(d) , ∀x(P(x) → (P(x) → Q(x))) ⊢ Q(d) 1.∀x(P(x)→(P(x)→Q(x))),P...
暇つぶしに見て 全称導入
所謂一般化ってやつじゃないなと。全称記号∀除去は別名「普遍汎化」とも呼ぶようです。 普遍汎化 定義 もし$\displaystyle \vdash P(x)$が導出されていれば、$\displaystyle \vdash \forall x...
暇つぶしに見て 自然数の0×x=0の証明
x×0=0は定義通り。 0×x=0 証明 数学的帰納法を用います。 x=0の場合は定義通り。1.0×02.0…(1) x=1の場合1.0×1(仮定)2.(0×0)+0(定義)3.0+0(1)より4.0…(2) x=2の場合1.0+2(仮定)...
暇つぶしに見て 自然数の0+x=xの証明
x+0=xは定義されていますが、逆バージョン0+x=xは証明定義されていませんのて証明していきます。 0+x=x 証明 1.0+0(仮定)1.0(加法定義)3.0+0⇔0…14.0+1(仮定)5.S(0+0)(加法定義)6.S(0)(1より...