大小関係について考えていたら、=と>から受ける印象って異なるよなあ、となったので、その理由を考えました。
=で結ばれる関係は組み合わせ方次第ですが、一対一対応の写像だと言えます。
【写像】
集合 A の各元に対してそれぞれ集合 B の元をただひとつずつ指定するような規則 f が与えられているとき、f を「定義域（あるいは始域） A から終域 B への写像」といい。などと表す。
Wikipedia
が、>は写像の一対一とは違うよなあという気がします。
2<xは2より大きい要素を全て含みます。
その疑問を前提に順序関係の定義を眺めると、=と>から感じた印象の違い、>の捉え方を何となく理解できました。
反射律、推移律は同値関係にも要求されます。
恐らく全順序律が、
冒頭の
1<x
のxは1より大きな数を全て含む、ということを一言で表しているんじらないか思います。
任意の要素の全てに一対一の二項関係が埋め込まれているよ、と言うと回りくどく感じますが、一々の要素にそれより大きな要素の集合を埋め込んでしまうと情報量が無限大になって処理できないので、全順序律と推移律を二つ組み合わせるとそれが出現する連鎖反応が起こるような定義になっているのではないかと。
例えば、
1<2,2<3
という前提はは推移律により
1<2,2<3(前提)
1<2∧2<3(∧導入)
1<3(推移率)
と変形できることをが定義されています。
この推移律の定義は暗黙的にですが、結論に2が含まれていることを説明してくれます。これを無限回繰り返せば1<∞も証明できます。
(a<s(a)∧s(a)<s(s(a)))→a<s(s(a))→a<s(s(a)))∧(s(s(a)<s(s(s(a)))→a→s(s(s(a))))
と大枠の前件が真なら後件も自動的に真となることは推移律より証明できます。
既に
1<2∧2<3→1<3
は証明しましたので、数学的帰納法的に1<∞が証明されます。
全順序律を定義しておけば、自動的に1から∞までの順序関係に取り込んでしまえるような設計になっているんじゃないかと。
なので現時点での僕の結論として、大小関係は写像とても捉えられる、です。
順序関係
Wikipedia
反射律：P の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。
推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a ≤ b かつ b ≤ c ならば a ≤ c が成り立つ。
反対称律：P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b かつ b ≤ a ならば a = b が成り立つ。
全順序律：P の任意の元 a, b に対し、a ≤ b または b ≤ a が成り立つ。
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