三角関数の微分
下の書籍の引用
単位円を描いて、上のような包含関係の図形を構成します。
面積の大小関係は上記の通り。
ラジアンが0に限りなく近いなら、$\sin θ$とラジアンの比が１に限りなく近くなるのは視覚にもなんとなく理解できます。本当にそうなることを証明します。
角$x$を0へ限りなく近づけた場合は$△OTQ$の隣辺は$\frac{sinx}{1}$となり、△OTPの対辺は$\frac{tanx}{1}$となります。$x$を0に限りなく近づけると、分子の値が小さくなる構造になっています。
よって極限をとると辺$QH$と辺$PT$の長さは$0$に限りなぐ近づきます。
はさみ撃ちの原理により、弧$QT$の長さは限りなく０に近づきます。
はさみうちの原理（英: Squeeze theorem / Sandwich theorem）とは、直接求めることが難しい関数や数列の極限を、両側から別の関数・数列で挟むことによって求める微積分の極限定理です。
次に構成した図形の面積を考えます。
$△OTQ=\frac{\sin x}{2}$
$△OTP=\frac{\tan x}{2}$
弧$OTQ=\frac{x}{2π}\cdot 1^{2}\cdot π =\frac{x}{2}$(半径×半径×π)
それぞれに2をかけて
$△OTQ=\sin x$
$△OTP=\tan x$
弧$OTQ=x$
また、$tanθ$は対辺と隣辺の日のことなので。
$△OTP=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$
以上より、上記の図形の面積の大きさは
$sinx ＜x＜\frac{\sin x}{\cos x}$
$\frac{1}{\sin x}＞\frac{1}{x}＞\frac{\cos x}{\sin x}$(逆数)
$1＞\frac{\sin x}{x}＞\cos x$(乗法逆元法則)
$\displaystyle \lim_{ x \to 0} \cos x=1$
上記とはさみ撃ちの原理より
$\displaystyle \lim_{ x \to 0 } \frac{\sin x}{x} =1$
コメント