テイラー展開について調べ行くと指数関数や対数関数は面倒で遠ざけていましたが、微分を勉強していると避けては通れない。「数学を学ぶのなら避けては通れない」が正しいとは思いますが。
$\frac{ dy }{ dx }\ln x=\frac{ 1 }{ x }$
証明
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{\ln (x+h)-\ln (x)}{h}$(自然対数関数の微分)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{1}{h}\ln (x+h)-\ln (x)$(分数法則)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{1}{h} \ln (\frac{x+h}{x})$(対数法則)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{1}{h} \ln (\frac{x}{x}+\frac{h}{x})$(分数法則)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{1}{h} \ln (1+\frac{h}{x})$(乗法逆元)
$m=\frac{h}{x}$(仮定)
$\frac{1}{m}=\frac{x}{h}$(分数法則)
$\frac{1}{xm}=\frac{1}{h}$(乗法逆元)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{1}{xm} \ln (1+m)$(代入)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{m} \ln (1+m)$(分数法則)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{1}{x} \ln (1+m)^{\frac{1}{m}}$(対数法則)…①
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }$かつ、$\frac{h}{x}$なので$m>h$です。
よって①を見やすくすると
$\frac{1}{x} \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \ln (1+m)^{\frac{1}{m}}$
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }(1+m)^{\frac{1}{m}}＝e$
ネイピア数の定義を満たす、かつ
$\ln e=1$
$\frac{1}{x} \cdot 1=\frac{1}{x}$
です。
よって①、すなわち対数関数の微分は対数関数の真数を用いて
$\frac{ dy }{ dx }\ln x=\frac{ 1 }{ x }$
となります。
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