外積の性質

分配法則

外積に分配法則は成立せるか。

$\boldsymbol{z}×(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y})=\boldsymbol{z}×\boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}×\boldsymbol{y}$

証明
まずベクトル左辺の加法。
$\boldsymbol{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})$
$\boldsymbol{y}=(y_{1},y_{2},y_{3})$
$\boldsymbol{x+y}=(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{3}+y_{3})$

次左辺の外積。
$\begin{pmatrix}z_{2}(x_{3}+y_{3})-z_{3 }(x_{2}+x_{2}) \\z_{1}(x_{3}+y_{3})-z_{3}(x_{1}+y_{1}) \\ z_{1}(x_{2}+y_{2})-z_{2}(x_{1}+y_{1}) \end{pmatrix}$…#

次は外積から
$\boldsymbol{z}×\boldsymbol{x}$(仮定)
$\begin{pmatrix}z_{2}x_{3}-z_{3}x_{2} \\z_{1}x_{3}-z_{3}x_{1} \\ z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1} \end{pmatrix}$(外積)…∗

$\boldsymbol{y×z}$(仮定)
$\begin{pmatrix}z_{2}y_{3}-z_{3}y_{2} \\z_{1}y_{3}-z_{3}y_{1} \\ z_{1}y_{2}-z_{2}y_{1} \end{pmatrix}$(外積)…∗∗

次に加法∗+∗∗
$\begin{pmatrix}z_{2}x_{3}-z_{3}x_{2} \\z_{1}x_{3}-z_{3}x_{1} \\ z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}z_{2}y_{3}-z_{3}y_{2} \\z_{1}y_{3}-z_{3}y_{1} \\ z_{1}y_{2}-z_{2}y_{1} \end{pmatrix}$(仮定)
$\begin{pmatrix}z_{2}x_{3}-z_{3}x_{2}+z_{2}y_{3}-z_{3}y_{2} \\z_{1}x_{3}-z_{3}x_{1}+z_{1}y_{3}-z_{3}y_{1} \\ z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1}+z_{1}y_{2}-z_{2}y_{1} \end{pmatrix}$(ベクトル加法)
$\begin{pmatrix}z_{2}(x_{3}+y_{3})-z_{3 }(x_{2}+x_{2}) \\z_{1}(x_{3}+y_{3})-z_{3}(x_{1}+y_{1}) \\ z_{1}(x_{2}+y_{2})-z_{2}(x_{1}+y_{1}) \end{pmatrix}$(分配法則)
①と一致。

外積は分配法則が成り立つ。

反対称性

外積の演算の規則の覚え方を考える記事でなんとなくやりましたが。

外積に交換法則は成り立つのか？

結論外積の順序を変えると向きが変わる。

$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_{1} \\x_{2} \\x_{3}\end{pmatrix}$

$\boldsymbol{y}=\begin{pmatrix}y_{1} \\y_{2}\\ y_{3}\end{pmatrix}$

$\boldsymbol{x×y}=\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2} \\x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1} \\ x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}$…①

①にマイナスをかける。
$-1･\boldsymbol{x×y}$(仮定)
$=-1･\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2} \\x_{1}y_{3}-x_{3}y_{1} \\ x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}$(スカラー乗法)
$=\begin{pmatrix}-x_{2}y_{3}+x_{3}y_{2} \\ -x_{1}y_{3}+x_{3}y_{1} \\ -x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\end{pmatrix}$(分配法則)
$=\begin{pmatrix}x_{3}y_{2}+x_{2}y_{3} \\ y_{3}x_{1}+x_{3}y_{1} \\ x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2}\end{pmatrix}$(交換法則)
$\boldsymbol{y×x}$(外積)

外積の順序を変えると向きが変わる。