垂直なベクトルの作り方

任意のベクトルと垂直なベクトルを作る。

テキトーに$\boldsymbol{x}=(1,2,3)$と垂直なベクトルを作ることをかんがえる。

これむたテキトーに$\boldsymbol{y}=(3,2,1)$と置く。

外積
$(2･1-2･3,3･3-1･1,1･2-3･2)$
$\boldsymbol{z}=(-4,8,-4)$

念の為に外積の定義を満たすのか確認。
$⟨x,z⟩=1･-4+(2･8)+(3･-4)$
$=-4+16-12=16-16=0$
外積の定義を満たします。

次は$y$に$\boldsymbol{x×y}$の内積。
1と3を入れ替えただけの結果が導かれるだけなので、$\boldsymbol{y}$に対しても$\boldsymbol{x×y}$は外積の定義を満たします。

外積の向き

上記の基底
$x=(1,0,0),y=(0,1,0)z=(0,0,1)$

次は$y×z$。
$(1･0-0･0,0･1-0･0･0,0-1･1)$
$(0,0,-1)$
行列の順番を入れ替えると向きが逆になりました。

外積の限界

ここでふと、「二次元空間を二つの基底で説明できそうじゃね？」と。

つまり、「ax+by+c(x×y)」で三次元の情報を二次元圧縮でにるんじゃね？ってこと。

意気揚々とAIに質問したら、
AI「はいはいワロタ、スカラーcを式に組み込んだ時点で、それは三次元だからwww」

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