コーシー･シュワルツ不等式の導出

数学とか

2025.12.24

AIと問答していくスタイル。コーシー・シュワルツの不等式コーシーシュワルツ不等式の気持ちを考える。コーシー＝シュワルツの不等式これの等号成立は、x, y が線型従属であるとき、つまり x, y の一方が 0 であるか、さもなくば...

$\|\boldsymbol{a}^{2}\|=\|\boldsymbol{b}^{2}\|+\|\boldsymbol{c}^{2}\|-2\|\boldsymbol{b}\|\|\boldsymbol{c}\|cosA$(余弦定理)
$\|\boldsymbol{b-c}\|^{2}=\|\boldsymbol{AB}-\boldsymbol{AC}\|^{2}=\|\boldsymbol{a}\|^{2}$(ベクトル減法)…①

ノルムと内積の定義より自分自身との内積は
$\|a\|^{2}= ⟨a,a⟩$

$\|\boldsymbol{b-c}\|^{2}= ⟨\boldsymbol{b-c},\boldsymbol{b-c}⟩$(内積とノルムの関係と①より)
$ ⟨\boldsymbol{b},\boldsymbol{b-c}⟩- ⟨\boldsymbol{c}, \boldsymbol{b-c}⟩$(内積分配法則)
$ ⟨\boldsymbol{b},\boldsymbol{b}⟩- ⟨\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}⟩- ⟨\boldsymbol{c},\boldsymbol{c}⟩- ⟨\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}⟩$(内積)
$\|\boldsymbol{b}\|^{2}+\|c\|^{2}- ⟨\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}⟩- ⟨\boldsymbol{c},\boldsymbol{b}⟩$(内積ノルム変形)
$\|\boldsymbol{b}\|^{2}+\|c\|^{2}- ⟨\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}⟩- ⟨\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}⟩$(実数内積対称性)
$\|\boldsymbol{b}\|^{2}+\|\boldsymbol{c}\|^{2}- 2⟨\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}⟩$(実数加法)

余弦定理を踏まえると以下の同値関係が導けます。すなわち、
$\|a^{2}\|=\|\boldsymbol{b}^{2}\|+\|\boldsymbol{c}^{2}\|-2\|\boldsymbol{b}\|\|\boldsymbol{c}\|cosA$
$=\|\boldsymbol{b}\|^{2}+\|c\|^{2}- 2⟨\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}⟩$(同値関係)
$\|\boldsymbol{b}\|\boldsymbol{c}\|cosA=⟨\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}⟩$(加法逆元と乗法逆元)

cosΘの定義より
$-1≦cosΘ≦1$(三角関数)
が成り立つ。よって
$|⟨\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}⟩|=\|\boldsymbol{b}\|\|\boldsymbol{c}\|cosA≦\|\boldsymbol{b}\|\|\boldsymbol{c}\|$(乗法大小関係保存則)
$ |⟨\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}⟩|≦\|\boldsymbol{b}\|\|\boldsymbol{c}\|$(推移律)

コーシー-シュワルツ不等式が導出できました。

※実ベクトルの内積の対称性と複素ベクトルの内積のエルミート性は異なります