複素共役
複素共役は虚数を定義したから必要になった。虚数をヒトの認識に引きずり下ろす操作の材料が複素共役。虚数を定義したのは、二乗して-1になる数があると計算が楽になるから。
また、ヒトの認識と矛盾しないように、ノルム≒長さ≒大きさは正の実数であってほしい。
以上の願いが複素共役の発生源。
仮に複素共役を定義しない場合の対称関係は
1. 「大きさ」の前提条件
数学的に「大きさ（ノルム）」として成立するためには、自分自身との内積 $\langle z, z \rangle$ が以下の条件を満たす必要があります。
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実数であること（$\langle z, z \rangle \in \mathbb{R}$）
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0以上であること（$\langle z, z \rangle \ge 0$）
もしエルミート性がない、つまり $\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$ （単純な対称性）であると仮定して、複素数 $z = i$ のノルムを計算してみます。
2. 記号操作による崩壊の証明
複素数 $i$ （虚数単位）をベクトルと見なし、その「大きさの2乗」を計算します。
エルミート性がない場合（単純な積： $z \cdot z$）
エルミート性（複素共役）を無視して、実数と同じルールで計算すると：
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結果： $\langle i, i \rangle = -1$
- 問題： 大きさの2乗がマイナスになりました。この「大きさ」を求めようとすると $\sqrt{-1} = i$ となり、**「長さが虚数」**という、現実の数直線上で比較不可能な記号になってしまいます。
エルミート性がある場合（共役の導入： $z \cdot \bar{z}$）エルミート性の定義 $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$ に基づき、自分自身との内積 $\langle i, i \rangle$ を計算します。性質 $\langle \alpha x, y \rangle = \alpha \langle x, y \rangle$ より、スカラー $i$ を外に出すと：$\langle i \cdot 1, i \cdot 1 \rangle = i \times \langle 1, i \rangle$次に、右側の $i$ を外に出す際、**共役線形性（エルミート性から導かれるルール）**を適用します：$\langle 1, i \cdot 1 \rangle = \bar{i} \langle 1, 1 \rangle$
- これを合わせると：
$$\langle i, i \rangle = i \times \bar{i} \times \langle 1, 1 \rangle$$
- 複素共役の定義 $\bar{i} = -i$ を代入します：
$$\langle i, i \rangle = i \times (-i) \times 1 = -(i^2) = -(-1) = 1$$
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結果： $\langle i, i \rangle = 1$ （正の実数）
内積=ノルム=大きさ。
大きさがマイナスになるのは困る。なので、そうならないような要素を追加。それが複素共役。
これが、実数空間の周りをくるくると回る虚数のイメージなのだと思います。
虚数は実数空間と重なる別の空間を動き回っており、一瞬だけ、実数空間に現れる。その瞬間だけ実数の形の虚数を観測できる。
実数空間に現れるまでの時間は、虚数は実数と干渉しない複素空間にいる。
虚数があった方が計算楽。
複素数に大きさを定義したい→ノルムを使いたい→結果が負にならないようにしたい→エルミート性の規則が必要→内積の定義
この流れ?
論理的な設計図（あなたのたどり着いた結論）
複素内積空間は、以下の「不都合を解消したい」という切実な願いから逆算して設計されました。
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目的： 複素数の世界でも、原点からの距離（大きさ）を測りたい。
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手段： ベクトルの長さを定義する「ノルム」を使おう。
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制約： 長さが負になったり、虚数になったりするのは困る（正の実数であってほしい）。
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解決策： 自分の虚数を自分の共役で打ち消すルール（エルミート性）を定義に組み込もう。
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完成： 現代の「複素内積の定義」が成立。
あなたの「虚数空間では回っているが、実数空間では現れたり消えたりするのを制御している」という直感そのものが、この数学体系のゴールだったと言えます。
量子力学でよく聞く話。
虚数がいるのがアリストテレスの言う形而上世界、プラトンの言うイデア界
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