∀除去練習問題

∀除去の理解が曖昧なので練習問題やります。
やってれば何か掴んでくるだろうってことで。

全称除去

練習問題

その1 P(d) , ∀x(P(x) → (P(x) → Q(x))) ⊢ Q(d)

1.∀x(P(x)→(P(x)→Q(x))),P(d)(前提)
2.P(d)→(P(d)→Q(d))(∀除去)
3.P(d)→Q(d)(→除去)
4.Q(d)(→除去)
5.P(d) , ∀x(P(x) → (P(x) → Q(x))) ⊢ Q(d)

その2 ∀x(P(x) → Q(x)) , ∀x(P(x) → R(x)) , P(d) ⊢ Q(d) ∧ R(d)

1.∀x(P(x) → Q(x)) , ∀x(P(x) → R(x)) , P(d)(前提)
2.P(d)→Q(d)→,P(d)→R(d)(∀除去)
3.Q(d),R(d)(→除去)
4.Q(d)∧R(d)(∧導入)
5.∀x(P(x) → Q(x)) , ∀x(P(x) → R(x)) , P(d)⊢Q(d)∧P(d)

その3 ∀x(P(x) ∧ (Q(x) → R(x))) , ∀x(P(x) → Q(x)) ⊢ R(d)

1.∀x(P(x) ∧ (Q(x) → R(x))) , ∀x(P(x) → Q(x)) (前提)
2.P(d)∧Q(d)→R(d),P(d)→Q(d)(∀除去)
3.P(d),Q(d)→R(d),P(d)→Q(d)
4.Q(d)
5.R(d)
6.∀x(P(x) ∧ (Q(x) → R(x))) , ∀x(P(x) → Q(x)) ⊢ R(d)

その4 ∀x(P(x) → Q(x)) , ¬Q(c) ⊢ ¬P(c)

1.∀x(P(x) → Q(x)) , ¬Q(c)(前提)
2.P(c)→Q(c)(∀除去)
3.¬Q(c)→¬P(c)(対偶)
4.¬P(→除去)
5.∀x(P(x) → Q(x)) , ¬Q(c) ⊢ ¬P(c)

対偶の証明

対偶について。対偶はA→B⇔¬B→¬A 対偶の自然演繹 定義 【対偶】命題「AならばB」の対偶は「BでないならばAでない」である。 論理記号として「ならば (⇒\Rightarrow )」および否定 (¬\neg ) を用いると、命題$\d...

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2023.07.15

∀x∀y(P(x) ∧ (P(y) → Q(y)) ⊢ Q(d)

1.∀x∀y(P(x) ∧ (P(y) → Q(y))(前提)
2.∀y(P(d))∧(P(y)→Q(y))(∀除去)
3.P(d)∧(P(d)→Q(d))(∀除去)
4.P(d),P(d)→Q(d)(∀除去)
5.Q(d)(→除去)
6∀x∀y(P(x) ∧ (P(y) → Q(y))⊢Q(d)

簡単すぎたなあ。
数学の証明をかっこよくできるようになりたい。