自然数の減法の規則を考える

自然数の減法の定義と解釈

数学的帰納法で遊ぼうと練習問題を探していると減法の定義を学ぶ必要が出てきました。

減法の定義

二つの数 a, b の加法と呼ばれる演算 + に対して、

数 c がa + b = c

という関係を満足するとき、演算子 − を導入して

b = c − a

と記し、c から a を引いた数は b であるという。この数 b は c と a の差と呼ばれる[1]

Wikipedia

加法によって定義されています。
加法と減法の規則だけを抽象的に抜き出して記号化した観。

試しに

(1+2=3)=(2=3-1)

(3+4=7)=(4=7-3)

それらしくはあります。
ただ疑問が。
なぜ、自然数の加法の定義の流儀を応用しないのか。

他の定義を考える

まず1つ目の式変形の定義

a-a=0

とりあえこんなもんで。

2つ目の式変形を考えるために試行錯誤。

1-1=0
2-1=
s(2-2)
s(0)
1

3-1
s(3-2)
s(s(3-3))
s(s(0))
2

3-2
s(3-3)
s(0)
1

4-1
s(4-2)
s(s(4-3))
s(s(s(4-4)))
s(s(s(0)))
3

減法のこんな規則じゃないかと。

a-a=0
a-b=s(a-s(b))

試しに10-5を解いてみる。

10-5
=s(10-s(5))
=s(s(10-s(s(5))))
=s(s(s(10-s(s(s(5))))))
=s(s(s(s(10-s(s(s(s(5)))))))
==s(s(s(s(s(10-s(s(s(s(s(5))))))))))
=s(s(s(s(s(0)))))))))
=5

似たようなものと言われればそう感じます。
記号の表現が違うだけでやってることは同じか。

とりあえずはこの理解で進めて困ったら修正します。