自然数の偶数が無限に在ることの証明の雰囲気

股関節おじさんの勉強部屋

2023.11.222024.01.06

数学的帰納法の雰囲気を味わいますり

自然数の乗法
すべての自然数 a に対して a × 0 = 0
すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + a
自然数の加法
すべての自然数 a に対して a × 0 = 0
すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + a
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証明の雰囲気

[s(s(2k))](前提)
2k+2(加法定義)
(2×k)+2(同値変形)
2×s(k)(乗法定義)
2×l(代入)
2l(同値変形)
s(s(2k))→2l(→導入)

最後に偶数の後者の後者ならば偶数、が導けました。

2倍のl、l はある自然数kの後者の後者。その2倍。つまり偶数。
ある偶数の後者の後者も偶数であることが証明できました。多分。

我流なんで細かいことは無視してますので。

2(前提)
2×1(同値変形)

2も偶数になるので、上の代数的な偶数の証明と合わせると数学的帰納法により自然数の偶数が無限に存在していることが言えます。

自分自身でも所々おかしい気はしているのですが、具体的には何がどうなのかは思いつかないので、困った時に正式な証明を探します。

すべての自然数 a に対して
a × 0 = 0
すべての自然数 a, b に対して
a × suc(b) = (a × b) + a
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数学的帰納法
(a) P(1)
が正しいことが分かる。次に k = 1, 2, … に対して 2 を適用することで、
(b) P(1) ⇒ P(2),
(c) P(2) ⇒ P(3),
…
が分かる。(a), (b) より、P(2) が成り立ち、この事実と (c) を組み合わせることにより P(3) が従う。以下同様に P(4), P(5), … も従い、結局3の
全ての自然数 n に対し P(n) が成り立つ
が結論づけられる。
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