1+1=1×2の証明

自然数の加法と乗法

定義

自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。

1.すべての自然数 a に対して、a + 0 = a
2.すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)

1 := suc(0) と定義するならば、suc(b) = suc(b + 0) = b + suc(0) = b + 1 となり、b の後者とは単に b + 1 のことである。

加法が定義されたならば、自然数の乗法は再帰的に、以下のように定義できる。

1.すべての自然数 a に対して a × 0 = 0
2.すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + a

Wikipedia

証明

1.1+1=2
2.S(0)+S(0)=S(S(0))
3.S(S(0+0))=S(S(0))(加法定義2)
4.S(S(0))=S(S(0))(加法定義1)(1)

1×2=2
1.S(0)×S(S(0))=S(S(0))(仮定)
2.(S(0)+0)+S(0)=S(S(0))(乗法の定義2)
3.S(0)+S(0)=S(S(0))(加法の定義2)
4.S(S(0)+0)=S(S(0))(加法の定義2)
5.S(S(0))=S(S(0))(加法の定義2)(2)

便宜上、加法と乗法の定義に番号を振っています。

(1)(2)いずれも同じ形に変形できたので反射律、対称律、推移律を満たします。

1+1=1×2
は同値関係を満たします。