頭を悩ませている「同値」の定義の 発生源。定義だけみると突然反射律やらが登場したようで気持ちが悪い。
同値って概念の発生までの文脈を与えよう、という試み。
人の認識から演繹
人の認識は含意
人の認識を一般化した含意を紡いで演繹された論理構造に「等しい」と名前をつけただけ説で解釈していきます。
※日常の等しいとは発生源が異なる
日常の同語反復的に発生した「等しい」という概念とは別の場所から、論理世界での「等しい」は発生してます。その等しいを数学世界まで延長し、数学の世界観における一つの解釈を与えています。意味不明だと思いますが続けます。
僕達の日常の世界観での「等しい（同じ）」の認識と、論理学と数学の「等しい（同値）」は似て非なるものなのです。しかし高校数学の世界観では日常の観念による解釈でも事足りてしまうため、日常世界における「等しい（同じ）」の解釈が数学世界へ延長されてしまいました。
この文脈が隠されているから論理的な正しいの定義に違和感を覚えます。
日常の「等しい」は同語反復的に「等しいから等しい」で定義されていますが、学問の数学の等しいは、成立までの文脈があります。
言いたいこと分かりますかね。原理が根本的に異なる概念を力づくで噛み合わせようとしたから、僕は混乱したんです。物語のない日常の等しいと物語のある数学の等しい。
現時点での数学の等しいの解釈をまとめると以下なようになります。
十分（必要）条件と含意
あることが成立した時の人の認識を一般化したのが十分条件、必要条件です。
「aという原因からbという現象が起こった」という因果関係の認識ですね。
【十分条件】
コトバンク
二つの命題pとqから「pならばqである」という合成命題をつくることができる。これを条件文という。条件文「pならばqである」が真であるとき、つまり、pが真であるすべての場合について、いつもqが真であるとき、pをq（が真）であるための十分条件という。
【必要条件】
コトバンク
必然的に導かれる条件のこと。すなわち、条件Ｐ、Ｑに対し、命題「ＰならばＱである」が真のとき、ＱをＰの必要条件という。
この文脈から前提命題と結論命題の規則性を明らかにして、機械的に人の認識を現実に当てはめられるように開発されたのが論理演算の含意（論理包含）でしょう。
同値の定義
X の任意の元 a に対して，
Wikipedia
…a ∼ a である（反射性），
X の任意の2元 a, b に対して，
・a ∼ b ならば b ∼ a である（対称性），
X の任意の3つの元 a, b, c に対して，
・a ∼ b かつ b ∼ c ならば a ∼ c である（推移性)
【必要十分条件】
Wikipedia
二つの条件 p 、q に対して、「 p を満たすものは全て q も満たす 」 というとき、「 p は q である為の十分条件である 」 あるいは 「 q は p である為の必要条件である 」 という。
また、「 p は q である為の十分条件であり、q は p である為の十分条件である 」 というとき、「 p は q である為の必要十分条件である 」 あるいは 「 p と q とは同値である 」 という。
【恒真式（こうしんしき、トートロジー、英: tautology、ギリシャ語のταυτο「同じ」に由来）】とは論理学の用語で、「aならば aである (a → a) 」「aである、または、aでない (a ∨ ￢a)」のように、そこに含まれる命題変数の真理値、あるいは解釈に関わらず常に真となる論理式である。
Wikipedia
反射律は前提からp→pの形に演繹できることを要請しています。
対称律は前提からp→q∧q→pの形に演繹できることを要請しています。
推移律はa→b,b→cからa→cが演繹できることを要請しています。
原因と結果って人の認識の延長線上で等しいって概念が定義されてます。反射律、推移律、対称律は人の認識を一般化したものですね。人の認識を厳密化して定義されているって一応は納得のいく文脈が与えられました。
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