矛盾と恒真式の定理の証明

股関節おじさんの勉強部屋

2023.07.22

∨,∧と⊥,Tの関係。

の矛盾と恒真式の定理

恒偽式(矛盾)と恒真式の定理の証明。

∨と⊥の関係。

1.[A∨⊥](仮定)
2.A(仮定)
3.A(同語反復)
4.A→A(→導入)
5.[⊥](仮定)
6.A(矛盾除去)
7.⊥→A(→導入)
8.A(∨除去)
9.A∨⊥→A(→導入)

1.[A](仮定)
2.A∨⊥(∨導入)
3.A→A∨⊥(→導入)

A⇔A∨⊥が証明できました。

Tと∨の関係について。

1.[T](仮定)
2.T∨A(∨導入)
3.T→T∨A(→導入)

1.[A∨T](仮定)
2.[A](仮定)
3.A∨¬A
4.T(排中律)
5.A→T(→導入)
6.[T](仮定)
7.T(同語反復)
8.T→T(→導入)
9.T(∨除去)
10.A∨T→T(→導入)

∧とTの関係。

1.[A∧T](仮定)
2.A(∧除去)
3.A∧T→A(→導入)

1.[A](仮定)
2.A∨¬A(∨導入)
3.T(排中律)
4.A∧T(∧導入)
5.A→A∧T(→導入)

∧と⊥の関係。

1.[A∧⊥](仮定)
2.⊥(∧除去)
3.A∧⊥→⊥(→導入)

1.[⊥](仮定)
2.A∧⊥(矛盾除去)
3.⊥→A∧⊥(→導入)

任意の解釈のもとで、論理式
と恒真式

(A∨¬A)⇔T

の値は一致するため、
という関係が成り立ちます。これを排中律（law of excluded middle）と呼びます。
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