股関節おじさんの勉強部屋 1+1=2の証明
1+1 =2の証明を定義から導きます。 自然数の加法 定義1.自然数 1 が存在する。2.任意の自然数 a にはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。3.異なる自...
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股関節おじさんの勉強部屋 述語論理の全称記号と存在記号
命題論理は一通り終わったので、発展形の述語論理へ進みます。ここから数学っぽくなります。 全称記号と存在記号 定義 全称記号（ぜんしょうきごう、universal quantifier）とは、数理論理学において「全ての」（全称量化）を表す記号...
股関節おじさんの勉強部屋 因果関係の認識と数学
因果関係による人の認識を抽象的に説明すると、前提が真なら常に結論も真となるよな命題の組合せと言えると思います。で、因果関係は原因と結果を勝手に結びつけて認識すること。 因果関係による認識 認識の例 例)押した、だから動いた押した=A,動いた...
股関節おじさんの勉強部屋 排中律の証明
排中律 定義 排中律（はいちゅうりつ、英: Law of excluded middle、仏: Principe du tiers exclu）とは、論理学において、任意の命題 P に対し"P ∨ ¬P"（P であるか、または P でない）...
股関節おじさんの勉強部屋 後件否定と前件肯定の証明
後件肯定と前件肯定と後件否定と前件否定 前件肯定の証明 1.(A→B)∧A(仮定)2.(A→B),A(∧除去)3.B(→除去)4.((A→B)∧A)→B(→導入) 後件否定の証明 1.A→B,¬B(仮定)2.A(仮定)3.B(→除去)4.B...
股関節おじさんの勉強部屋 矛盾と恒真式の定理の証明
∨,∧と⊥,Tの関係。 の矛盾と恒真式の定理 恒偽式(矛盾)と恒真式の定理の証明。 A⇔A∨⊥ ∨と⊥の関係。 1.(仮定)2.A(仮定)3.A(同語反復)4.A→A(→導入)5.(仮定)6.A(矛盾除去)7.⊥→A(→導入)8.A(∨除去...
股関節おじさんの勉強部屋 双対とド・モルガンの法則
双対という概念に遭遇しました。これについて考えていきます。 双対とド・モルガンの法則 定義 【双対】命題を論理式として表したとき、論理和 ∨ と論理積 ∧ とをすべて入れ替え、全称記号 ∀ と存在記号 ∃ とをすべて入れ替えたものをもとの論...
股関節おじさんの勉強部屋 (A∧B)→C⇔A→(B→C)の証明
これまでに証明した命題論理の定理を用いた証明を行います。 (A∧B)→C⇔A→(B→C) 証明 1.(仮定)2.¬(A∧B)∨C(→言い換え)3.¬A∨¬B∨C(ド・モルガンの法則)4.¬A∨(¬B∨C)(結合法則)5.A→(¬B∨C)(→...
股関節おじさんの勉強部屋 吸収律の証明
A⇔A∨(A∧B)A⇔A∧(A∨B)この定理が吸収律です、 吸収律 定義 吸収法則（きゅうしゅうほうそく、英: Absorption law）は、代数学において1対の二項演算を結びつける恒等式である。吸収律あるいは簡約律とも。任意の二項演算...
股関節おじさんの勉強部屋 B∨¬A⇔A→Bの証明
B∨¬A⇔A→B B∨¬A→(A→B)の証明から 証明 1.(仮定)2.(仮定)3.(B∨¬A)∧A(∧導入)4.B(選言三段論法)5.A→B(→導入)6.(B)∨¬A→(A→B)(→導入) 選言的三段論法は定理です。詳しい証明はリンクから...
股関節おじさんの勉強部屋 対偶の証明
対偶について。対偶はA→B⇔¬B→¬A 対偶の自然演繹 定義 【対偶】命題「AならばB」の対偶は「BでないならばAでない」である。 論理記号として「ならば (⇒\Rightarrow )」および否定 (¬\neg ) を用いると、命題$\d...
股関節おじさんの勉強部屋 選言三段論法
命題論理定理シリーズやっていきます。今回は選言的三段論法。 (A∨B)∧¬A→B(¬A∨B )∧A→A 選言的三段論法 定義 選言三段論法（せんげんさんだんろんぽう、英: Disjunctive syllogism）とは、論理学において、「...