数学とか 有理数の大小関係
加法の大小関係デデキント切断の準備をします。感覚的には「任意の正数xに任意の正数y足した値はxより大きくなる」は自加法律を見れば自明です。ただ、年の為に確認します。0<1,x(仮定)0+x<1+x(加法律)x<1+x(単位元)0<1,x⇒x...
数学とか
数学とか 数学とか 乗法と乗法逆元の性質
積の大小関係乗法の大小関係の性質。既に導いたx<y⇒0<y-x=y+(-x)①の加法の性質を用います。0<x≤y≤z(仮定)0≤x(z-y)(乗法律と①)0≤xz-xy(分配法則)xy≤xz-xy+xy(加法律)xy≤xz(単位元)0≤x≤...
数学とか マイナス×プラス=マイナス
マイナス×プラス=マイナス0≤x,y⇒-x,-y≤0①と0x=0②との定理を用います。-1･-1=1の証明。-1+1=0(加法逆元)-1+-(-1)=0(加法逆元)-(-1)=1(加法一意性)①-1･a=-a(仮定)-a･-b(仮定2)-1...
数学とか 加法律から導かれる性質
実数の加法律からどんな性質が導けるのかを考えます。加法律は演算の後で順序の性質が保たれることの要請。0≤x⇒-x≤00≤x(仮定)(-x)+0≤(-x)+x(加法律)-x≤0(単位元と逆元)0≤x⇒-x≤0(含意)xが0以上ならば-xは0以...
数学とか 任意の数の平方は0以上
x≠0⇒0<x²プラス×プラス=プラスは乗法律はにより定義済み。マイナス×マイナス=プラスの証明の続き。0以外の平方は0より大きくなる証明。0より大きいか0の場合は定義されています(乗法律)。従って0より小さい平方の証明だけをやります。x<...
数学とか マイナス×マイナス=プラス
定義から証明1+-1=0(加法逆元)-1+-(-1)=0(加法逆元)-(-1)=1(加法一意性)加法逆元の逆元は元の元,-1･-1=-(-1)=1①次は任意の実数におけるマイナス×マイナス。∀a,b∈ℝ(-a･-b)(仮定)-1･-1･a･...
数学とか 大小関係 その二
大小関係大小関係の定義。広義大小関係ここで P は集合であり、「≤」を P 上で定義された二項関係とする。反射律：P の任意の元 a に対し、a ≤ a が成り立つ。推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a ≤ b かつ b ≤ ...
数学とか 狭義大小関係の三分律
引用WIIS定義10反射律、11反対称律、12推移律、13完備律を備えののが大小関係。狭義大小関係は、上に加えて同値関係が成り立たないもの。x<y⇔x≤y∧x≠y定理x<y⇒¬(y<x)の証明。感覚的には自明なんだけど一応。x<y⇒y<xと...
数学とか 割り算 その五
乗法の0元以外で0を作れないのか、と。すなわち、0以外の元同士を作用させてx･y=0の結論を得られないのかと。背理法を用います。x≠0∧y≠0⇔x･y=0x≠0∧y≠0⇒x･y=0(前提)x(仮定)x･1(乗法単位元)x･y･y⁻¹(乗法逆...
数学とか 割り算 その四
公理主義実数論には"0を除いた"実数に乗法単位元と逆元が定義されています。それは何故か。この話は以前触れたような気もしますが、割り算について考えるがてら、もう一度その理由について考えてみます。除法その三で、0の乗法は任意の数に対して0となる...
数学とか 割り算 その三
逆元x/yの逆元は乗法一意性により(x/y)･(x/y)⁻¹=1(乗法逆元)(x･1/y)･(y･1/x)=1(除法定義)(x/y)⁻¹=(y･1/x)=y/x(乗法一意性&除法定義)x/yの逆元(x/y)⁻¹=y/xです。乗法逆元の逆元は...
数学とか わり算 その二
任意の実数に対して0以外の逆元の乗法を除法と定める。x･y⁻¹=zが除法。yの逆元をかけること。x･1=z･yyかけると逆元は消えて乗法単位元(何もしない要素)が現れる関係。乗法においてyを相殺するのがy⁻¹。また上の式はx÷y,x･1/y...