数学とか 同型写像って何やねん
続き。同型写像2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは、それらの間に同型写像が存在することをいう。自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である。同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って...
数学とか
数学とか よもやま話 「群」って何がしたいねん
公理主義実数論集合 G とその上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が群であるとは、以下の3つの条件を満たすことをいう：（結合法則）任意の G の元 g, h, k に対して、μ(g, μ(h, k)) = μ(μ(g...
数学とか 0×a=0
任意の実数xに0をかけると0になる証明。どこがでやったような気がするので重複した記事かも。ただ、なんとなく頭の中で完結させただけな気もしますので、確認もかねて。0･a⇔a･0(乗法交換律)0･a(前提)(0+0)a(加法零元)0･a+0･a...
数学とか 稠密性「デデキントカットッッッ！！！」
実数の最大値最小値A={ℝ∈x|a≤x≤b}maxA=b,minA=a非負の実数の部分集合の大小関係を集めた順序対の集合をℝ⁺≤とすると∀x(0,x)∈ℝ⁺≤正の実数の任意の元は0以上の関係にあるので、その最小値はminℝ⁻=0負の実数はx...
数学とか 0⁰=1の証明
0の0乗0⁰=1であることは、一応は下の記事で証明しましたが、0=0^(0+1)へ変形する過程がないことにきがつきました。実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる...
数学とか ヒルベルトの公理に我流解釈を与える
WIISの公理主義的実数論を読み進めていると、再び公理主義とは、との疑問が頭をもたげてきました。それは直観としては、仏教の縁起に似た、認識(≒数学or論理)の規則を、より抽象的に捉えようとする試みだと解釈しています。ウィキペディアの英語版に...
数学とか 頭の体操八
一意性（いちいせい、英語: uniqueness）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性...
数学とか 頭の体操七
逆元の逆元-(-x)は逆元の逆元という意味。裏の裏は表、の証明。公理主義実数論の公理から。∀x,∃-x∈ℝ:x+(-x)=0任意の元xを選ぶとその逆元は必ず存在します。(-x)+(-(-x))=0(R3)-(-x)+(-x)=0(R4)x+...
数学とか 整数
参考書WIIS実数や整数の濃度を比較して遊ぼうとすると、どうしてもその定義を知らなきゃならんことがあります。というわけでとりあえず現時点の理解をまとめます。可算無限「自然数の濃度と偶数の濃度は同じ」について。自然数とその真部分集合である偶数...
数学とか 群
濃度の件で、そう言えば代数的数なるものがあったなと。果たしてその濃度はどれほどか証明しよう、と思い立ったのですが、『そもそも「代数的数」を知らん』と気が付きました。深掘りしたら「群」という概念と遭遇。情報の大部分が捨像されたような定義だと感...
数学とか 頭の体操四
可付番集合可算集合とは N と濃度が等しい集合のことである。すなわち、集合 S が可算であるとは、自然数全体の集合 N との間に全単射が存在することをいうウィキペディア自然数との全単射性が認められる集合が可付番。偶数は可付番偶数2n∀n∈ℕ...
数学とか 頭の体操 その三
対偶A={(x,y)∈ℝ²|y³+yx²≤x³+xy²}B={(x,y)∈ℝ²|y≤x}⊂集合を論理の包含関係→⇒と解釈します。y³+yx²≤x³+xy²(仮定)y(y²+x²)≤x(x²+y²)(分配法則)y(x²+y²)≤x(x²+y²...