暇つぶしに見て 論理和と論理積の交換法則
A∨B=B∨A,A∧B=B∧Aの自然演繹。 前提A,Bから出発して仮定の導入、解消でやれないか挑戦してみます。 論理和の交換法則 1.A∨B(前提)2.A(仮定1)3.B∨A(∨導入)4.A→B∨A(→導入.仮定1解消)5.B(仮定)6.B...
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暇つぶしに見て 暇つぶしに見て ド・モルガンの法則の自然演繹
ド・モルガンの法則 ド・モルガンの法則 A∨B⇔B∨Aを導きたいってこどネットを徘徊していたところ「論理和の交換法則はこの論理展開で行くんじゃない？」とヒントになりそうなものを発見しましたので共有します。 ド・モルガンの法則の自然演繹です。...
暇つぶしに見て 論理和と論理積の冪等律
同値関係についてもう少し掘り下げてやろうと思います。 冪等律 冪等律 【冪等律】数学において、冪等性（べきとうせい、英: idempotence、「巾等性」とも書くが読み方は同じ）は、大雑把に言って、ある操作を1回行っても複数回行っても結果...
暇つぶしに見て 仮説的導出と論理和の除去
A∨B⇔B∨Aに繋がりそうな考え方を学んでいきます。 仮説的導出と論理和の除去 【仮説的導出】数理論理学での一般的操作として、「仮定からの推論; reasoning from assumptions」がある。例として、次のような演繹過程を見...
暇つぶしに見て 反射律と対称律と推移律と代入原理
また等しいについて考えながら数学の思想を感じていきます。 等式の定義と同値関係の定義 等式の定義 【等式】通常、等号は以下の２つの公理によって定義される：反射律: 対象 a が何であっても a = a は常に成り立つ。代入原理: 対象 a,...
暇つぶしに見て 論理式の定義と括弧の意味
論理和と論理積の結合則、交換則を推論規則から演繹しようと思って挑戦。やりながら論理式と括弧が気になってきました。そういえばどんなルールがあるのだろうと。 論理式と二項演算と括弧 論理式の定義 Wikipediaには以下のように説明されていま...
暇つぶしに見て 自然数の定義と人の認識
人の認識を延長したものが含意、さらにその含意を延長し集合を含む概念にしたのが写像、関数。この文脈から自然数の定義にどんな物語が与えられるのかを見ていきます。人の認識って文脈から数学を理解しようって試みであくまでも長濱説、我流です。 写像と含...
暇つぶしに見て 含意と因果関係と写像
含意は因果関係 含意の認識 論理学や数学の基礎を成す人の認識について考えていきます。 含意「aならばb」は因果関係とみなすことができます。「殴られた→痛い」という含意は「殴られた」という命題が真なら「痛い」という命題も真となる因果関係の認識...
暇つぶしに見て 健全性と人の認識
同じところをぐるぐる回っているような気がします。が、前進へは執着しません。「堂々巡りも一興」と一見すると無駄なことを楽しむことが成長の鍵。 成長って強迫観念を捨てることが成長を引き寄せるという論理に確信を持っています。あえて無駄を積み重ねら...
暇つぶしに見て 含意と等しいの定義
頭を悩ませている「同値」の定義の 発生源。定義だけみると突然反射律やらが登場したようで気持ちが悪い。 同値って概念の発生までの文脈を与えよう、という試み。 人の認識から演繹 人の認識は含意 人の認識を一般化した含意を紡いで演繹された論理構造...
暇つぶしに見て 現象には意味があって欲しいという人の願望
自然演繹の現時点の僕の疑問とそれに対する解釈を書き出して頭を整理します。 「仮定」について 推論て何 論理学の推論の成立に関する現時点の僕なりの文脈を無造作に与えると以下のような感じ。 現象を観察する↓前提（事実）を抽出する↓「前提が真なら...
暇つぶしに見て 背理法で二重否定の除去
背理法によって命題pの二重否定¬¬pがpと同値であることを演繹します。 二重否定の除去 背理法 命題「¬pと¬¬p」が矛盾であることを背理法（否定除去）により演繹します。この演繹を日本語に翻訳すると「裏の裏は裏ではない、よって表である」とな...