数学とか わり算 その二
任意の実数に対して0以外の逆元の乗法を除法と定める。x･y⁻¹=zが除法。yの逆元をかけること。x･1=z･yyかけると逆元は消えて乗法単位元(何もしない要素)が現れる関係。乗法においてyを相殺するのがy⁻¹。また上の式はx÷y,x･1/y...
数学とか
数学とか 数学とか (準)同型写像と群の性質
群演算の一意性X:群X∈x,x⁻¹,yx･x⁻¹=x･yx⁻¹･x･x⁻¹=x⁻¹･x･ye･x⁻¹=e･yx⁻¹=yxの逆元と異なる要素yを群から取ってきてxに作用させた場合に結果が同じ。群の同型写像の集合Mを定義。その中から要素を取り出...
数学とか 割り算
公理主義実数論の立場から除法≒割り算を考えます。除法実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。(∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0 を定...
数学とか 同型写像と群
同型写像と群f(e)=f(e･e)=f(e)･f(e)(群と同型写像)f(e)･f(e)=f(e)(推移律)ある要素に作用させると、もとの要素になる形(規則)は単位元。同型写像は単位元を保存する。f(e)=f(e･e')=f(e)･f(e'...
数学とか 同型写像って何やねん
続き。同型写像2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは、それらの間に同型写像が存在することをいう。自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である。同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って...
よもやま話 「群」って何がしたいねん
公理主義実数論集合 G とその上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が群であるとは、以下の3つの条件を満たすことをいう：（結合法則）任意の G の元 g, h, k に対して、μ(g, μ(h, k)) = μ(μ(g...
数学とか 0×a=0
任意の実数xに0をかけると0になる証明。どこがでやったような気がするので重複した記事かも。ただ、なんとなく頭の中で完結させただけな気もしますので、確認もかねて。0･a⇔a･0(乗法交換律)0･a(前提)(0+0)a(加法零元)0･a+0･a...
数学とか 稠密性「デデキントカットッッッ！！！」
実数の最大値最小値A={ℝ∈x|a≤x≤b}maxA=b,minA=a非負の実数の部分集合の大小関係を集めた順序対の集合をℝ⁺≤とすると∀x(0,x)∈ℝ⁺≤正の実数の任意の元は0以上の関係にあるので、その最小値はminℝ⁻=0負の実数はx...
数学とか 0⁰=1の証明
0の0乗0⁰=1であることは、一応は下の記事で証明しましたが、0=0^(0+1)へ変形する過程がないことにきがつきました。実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる...
数学とか ヒルベルトの公理に我流解釈を与える
WIISの公理主義的実数論を読み進めていると、再び公理主義とは、との疑問が頭をもたげてきました。それは直観としては、仏教の縁起に似た、認識(≒数学or論理)の規則を、より抽象的に捉えようとする試みだと解釈しています。ウィキペディアの英語版に...
数学とか 頭の体操八
一意性（いちいせい、英語: uniqueness）とは数学分野において、注目している数学的対象が「存在するならばただ一つだけである」或いは「ただ一つだけ存在している（つまり「存在して、かつ、存在するならばただ一つだけである」の意）」という性...
数学とか 頭の体操七
逆元の逆元-(-x)は逆元の逆元という意味。裏の裏は表、の証明。公理主義実数論の公理から。∀x,∃-x∈ℝ:x+(-x)=0任意の元xを選ぶとその逆元は必ず存在します。(-x)+(-(-x))=0(R3)-(-x)+(-x)=0(R4)x+...