自然数の0+x=xの証明

x+0=xは定義されていますが、逆バージョン0+x=xは証明定義されていませんのて証明していきます。

0+x=x

証明

1.0+0(仮定)
1.0(加法定義)
3.0+0⇔0…1
4.0+1(仮定)
5.S(0+0)(加法定義)
6.S(0)(1より)
7.1
8.0+1⇔1…2
9.0+2(仮定)
10.0+S(S(0))
11.S(0+S(0))(加法定義)
12.S(0+1)
13.S(1)(2より)
14.0+2⇔2

(1)(2)(3)より前の式の証明が後の式の正しさを証明する数学的帰納法が成立します。

自然数の加法の定義から交換法則を導く

結合法則を導く証明の次は交換法則。 交換法則はa*b = b*aが満たされる性質のことです。例えば加法と乗法は1+2 = 2+1 = 31*2 = 2*1 = 2で演算の順番を入れ替えても結果は変化しません。 結合法則の時もそうでしたが、交...

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2022.12.23

自然数の加法の定義から結合法則を導く

順序集合（関係）の定義を学んでいるのですが、反射律やら推移律やら反対称律やら。「相等」関係をやった時にも出てきた概念です。「意味は分かる、だけどその心は？」って感じです。 というわけでネットを徘徊。少しづつ「もしかして『順序』の概念は自然数...

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2022.12.16

素人が数学に挑戦　自然数の定義

群の分野の続きです。 自然数 頭では群を抽象化し厳密に定義することの意味は理解できていますが、その威力を体感していないので、なんだか群の輪郭がぼやけています。というわけで簡単に群にはどんなものがあるのか見ていきます。 定義 群の定義を簡単に...

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2022.04.05