暇つぶしに見て 否定除去と背理法
推論規則の否定除去の方で少し振れましたが、命題aの否定から矛盾が演繹できるなら結論としてaの否定を除去したaを導いてよいとする規則です。 背理法と否定除去 矛盾を利用した論法に背理法がある。この論法では、「Xである」を示す場合に、まず「Xで...
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暇つぶしに見て 矛盾と否定の認識
恒偽式は矛盾とも呼ばれ、恒真式の対義語です。 矛盾と否定 矛盾 恒真式（こうしんしき、トートロジー、英: tautology、ギリシャ語のταυτο「同じ」に由来）とは論理学の用語で、「aならば aである (a → a) 」「aである、また...
暇つぶしに見て 論理和除去と導入
後回しにしてた論理和の推論規則を学んでいきます。 論理和の導入と除去 ∨（論理和）導入 Wikipediaの説明が分かりやすいので引用します。 もし「P」という命題が真であれば、「PまたはQ」という命題もまた真である、という推論規則である。...
暇つぶしに見て 推論規則に従い三段論法を演繹
除去、導入の推論規則に従い三段論法が論理的に正しい演繹であることを確認していきます。 三段論法は大前提「pならばqである」小前提「qならばrである」結論「pならばrである」といった風に二つの前提となる命題から結論を演繹する妥当な推論です。 ...
暇つぶしに見て 演繹の推論規則と含意除去
論理演算を導入する規則の次は、それを除去する規則を学びます。 推論規則 除去 定義 導入規則と対になる除去規則（elimination rules）がある（削除規則とも）。すなわち、複合型の命題を解体するものである。例えば、"A ∧ B t...
暇つぶしに見て 自然演繹の推論規則と導入
含意は論理包含の別名です。推論規則は論理学で推論を行う際に利用してよい式の変形法則。 導入と除去のうち、今回は導入を学びます。 推論規則 導入 一見しただけでは「どうしてこんなことを決めるの？」と思ってしまいますが、僕は「人の認識によって新...
暇つぶしに見て 論理的妥当性の再帰的な構造
ここまででようやく数学の始まりがぼんやりと見えてきました。出発は人の認識。その認識を一般化した演算規則によって公理の構造を変形させ、普遍的な法則（理論）を見つけていく。それがのちに意味を帯びてきて現実への応用される。 数学の議論の再帰的な構...
暇つぶしに見て 認識のパズルと演繹
証明の確かさって一体どう定義されているのだろうと思い立ってネットを彷徨、妥当性や健全性って定義に行き着きました。 確認が終わったところで、どうしてそれが正しいと仮定されたいるのかと再び疑問が浮んでネットを再び彷徨。一応の解釈に行き着きました...
暇つぶしに見て 必要十分条件と集合と同値関係
定義は定義として受け入れるとして、その心が知りたくなるのが人情。十分条件と必要条件を定義に背後にある心を考察していきます。 必要十分条件と同値関係 必要十分条件 というわけで十分と必要の日本語から。 【十分・充分】《ダナノ・副》物事が満ち足...
暇つぶしに見て 論理包含と必要条件と十分条件と同値
論理包含の演算規則はは認識を一般化したものだと仮定して、もう少し論理包含について認識の側面から考えます。 論理包含の定義から同値という概念を演繹出来ます。僕がずっと抱いている「なぜ同値の定義の形はそうなっているのか」という疑問の答えへ繋がっ...
暇つぶしに見て 認識と論理包含と混乱
論理学は人の認識の一般化です。人が開発したのだから当たり前ではありますが、見落としてしまいがち。 人の認識を土台として集合や写像という概念は開発された、という視点に立てば数学の見え方が変わってきます。 複雑に見える概念であっても、集合や写像...
よもやま話 認識の一般化
集合論やろうと思って入門書まで買ったのに。脱線に次ぐ脱線で全く意図しない方向へ走りだしてしまっています。 証明の正しさとは何かってことで数学の定義する正しいを見ていきました。演繹、三段論法と推論規則などなど。 納得したと思ったらまだモヤモヤ...