有界な無限数列は収束する部分列を持つ
有界数列（ゆうかいすうれつ）とは、数列のすべての項の値が、ある一定の範囲（上限と下限）の中に収まっており、無限大やマイナス無限大に発散しない数列のことです。
- 上に有界（上界がある）：
すべての n に対して $a_n \le M$ となるような実数 M が存在するとき。
- 下に有界（下界がある）：
すべての n に対して $m \le a_n$ となるような実数 m が存在するとき。
- 有界：
「上に有界」かつ「下に有界」であること。つまり、すべての n に対して $m \le a_n \le M$が成り立つこと。Gemini
戦略
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空間の囲い込み: 有界な数列全体を、有限な大きさの初期区間に閉じ込める。
集合$A$が上に有界なら、$∃M∈\mathbb{ R }$が存在し、$\forall x∈A≦M$になります。下に有界なら$m∈\mathbb{ R }$が存在し$m≦\forall x∈A$になります。
有限な大きさの集合なら$m≦\forall x∈A≦M$となります。
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無限の鳩の巣原理: 区間を半分に割り、数列の項が「無限個」落ちる方をチョイスし続ける。
無限集合における鳩の巣原理（無限鳩の巣原理）とは、「無限にあるもの（鳩）を、有限個の箱に分け入れたとき、少なくとも1つの箱には無限個のものが入る」というルールです。
Gemini
「無限鳩ノ巣の原理」は「無限個の要素を有限個に分割してそのいずれかが有限だった場合、それ以外の集合は無限個の要素を持ちますよ」という原理です。
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完備性の適用: 実数の連続性（完備性）を背景に、縮小し続けた果てに「唯一の極限点」が確実に存在することを保証する。
数学における完備性（Completeness）とは、空間や代数系の中に「抜け穴（隙間）」がなく、極限の操作などをしてもその空間の外へ逃げ出さない（収束する先がちゃんとその中にある）という性質のことです。
Gemini
「コーシー列」は数列の添字が大きくなるほど要素同士の距離がが狭くなっていく数列のことです。「コーシー列ならば必ず収束する」という性質を持つ集合を完備性をもつ集合といいます。
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部分列から要素の取り込み: 各縮小区間から項を一つずつ順番に選び出し、目的の点に収束する部分列を組み上げる。
上記の方法で刻んだ無限個の数列から一つづつ要素を選んで順序よく整列させることで新た数列を構成できます。この数列はコーシー列なので添字が大きくなるほど要素同士の距離は小さくなり、やがてある値に収束します。
証明
1. 初期区間の設定
有界な数列$\{x_n\}$を全て包む閉区間 $[a_0, b_0]$を切り取る。
2. 区間の二分法と無限項の選択
1の区間 $[a_0, b_0]$ を中点で $2$ つの半区間 $\left[a_0, \frac{a_0+b_0}{2}\right]$ と $\left[\frac{a_0+b_0}{2}, b_0\right]$ に分ける。
上記の区間のいずれかは無限鳩ノ巣の原理により、必ず無限個の項が含まれる。
無限個の項を含む方の半区間を二分割し新たに $[a_1, b_1]$ として構成する。
3. 無限回の操作と実数の完備性
2の操作を無限回繰り返す。
この場合は実数の完備性（コーシー列）より、切り取った区間には$[a_0, b_0] \supset [a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \dots$が成立する。
$[a_0, b_0]$を二分割したものを二分割したものを二分割したものを…と無限に繰り返すと区間は縮小していく。またコーシー列は収束するから
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{a_n-b_n}{2^n}=α$
となるから収束先の値が一意に特定できる。
4. 部分列の抽出と収束の証明
分割した区間$n$から一つづつ要素を作り出しせば数列を構成できる、かつそれは収束する。
よってボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理の証明完了。
区間を縮小していくイメージ
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