代数的数と超越数

テイラー展開から脱線しまくって今ここ。

テイラー展開数学においてテイラー級数（テイラーきゅうすう、英: Taylor series）は、関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開（テイラーてんかい）とい...

ネイピア数eは導関数が自分自身になる関数。
それは今の自分の存在が未来の自分により生起される奇妙な構成。

円周率は直径と円周の比。
円周を決める為にはその直径が、直径を決めるにはその円周が必要になります。
互いが互いを参照する構成です。

ネイピア数eも円周率πも抽象的には同じ構成。未来の自分を参照して今の自分が決まります。

eとπは両者とも超越数です。
代数的数ではないのが超越数で、それは代数的数と対比される概念です。

代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、複素数であって、有理数係数（あるいは同じことだが、分母を払って、整数係数）の 0 でない一変数多項式の根（すなわち多項式の値が 0 になる値）となるものをいう。

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代数的数

代数的数の具体例
有理数:
全ての有理数 $r$ は $x – r = 0$ の解になるため、代数的数です。逆元が存在する。
有理数の累乗根:
$\sqrt{2}$は$x^2 – 2 = 0$ の、$\sqrt[3]{-5}$ は$x^3 + 5 = 0$ の解になりますので、代数的数です。
複素数: 虚数単位 $i$ は$x^2 + 1 = 0$ の解になるので代数的数です

ネイピア数eの定義と性質

ネイピア数eを筆頭に、無理数には奇妙な性質があって面白いですよね。無理数ベクトル→微分→ネイピア数いつも思考が迷子。登下校と同じ。「あれ？この道通ったことがない！」からの迷子。でも、寄り道こそが僕の発見の種なんで、それでいいんです。僕は好奇...

ネイピア数のマクローリン展開

f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots

関数を、ベキ乗の足し算で表現する（マクローリン展開する）ことが可能なら、つまり、無限に微分しても形が変わらないなら、次のような構造である必要になります。

f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots

これがネイピア数の別の形。

ネイピア数をマクローリン展開すると上の形になる。

特に a = 0 における以下のような展開

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$

をマクローリン展開（マクローリンてんかい、英: Maclaurin expansion; 名称は数学者コリン・マクローリンに由来する）と呼ぶ。

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