総和記号 Σ で一律に表示できる：

$\displaystyle (x+y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}$  (2)

ウィキペディア

数学的帰納法

$n=0$(数学的帰納法仮定)
$(x+y)^{0}$(仮定)
$1$(0乗)

$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n=0}{\dbinom {0}{0}}x^{0}y^{0}$(数学的帰納法仮定)
$1$(0乗)

$n$で成立するなら$n+1$で成立すると仮定。

$(x+y)^{n+1}=(x+y)^{n}(x+y)$(仮定)
$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}(x+y)$(数学的帰納法仮定)
$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}x+\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}y$(分配法則)
$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k+1}y^{k}+\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k+1}$(指数関数)
$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n+1-k}y^{k}+\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k+1}$(交換法則)…#

$j=k+1$と仮定。
$k=j-1,k=0⇒j=1$また、$k=n⇒j=n+1$
以上の変形を施して#の右の項に代入。
$\sum \limits _{j=1}^{n+1}{\dbinom {n}{j-1}}x^{n+1-j}y^{j}$

次は左の項のkと右の項のjのカウンターの値を合わせる必要があります。

右の項のjは数を数えるだけのカウンターなので、kと言い直せます。

$\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n+1-k}y^{k}+\textstyle\sum \limits _{k=1}^{n+1}{\dbinom {n}{k-1}}x^{n+1-k}y^{k}$
$=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n+1-k}y^{k}+\textstyle\sum \limits _{k=1}^{n+1}{\dbinom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k}$(パスカルの三角形法則)
※パスカルの三角形法則は自力証明はしていませんが、二項定理をさっさと終わらせる為にそうだと認めまたした。

以上より、上の式は左右のカウンターが1つづつズレていることが、すなわち、左の項は最初のk=0が、右の項は最後のn=k+1がはみ出すとことが分かります。

$x^{n+1}+\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n+1-k}y^{k}+y^{n+1}$
$=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n+1}{\dbinom {n}{k}}x^{n+1-k}y^{k}$
と変形できます。

数学的帰納法より、
$\displaystyle (x+y)^{n}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}=\textstyle \sum \limits _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}$
が証明されました。