ネイピア数eを筆頭に、無理風には奇妙な性質があって面白いですのね。

無理数

ベクトル→微分→ネイピア数
いつも思考が迷子。

登下校と同じ。「あれ？この道通ったことがない！」からの迷子。

でも、寄り道こそが僕の発見の種なんで、それでいいんです。僕は好奇心を満たす為に生きているんで。

ネイピア数e


オイラーによる定義 e は$\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,a^{x}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=a^{x}\lim _{h\rightarrow 0}　{\frac {a^{h}-1}{h}}=a^{x}$ を満たすような実数 a、つまり $\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}=1$ をネイピア数の定義とした。 ウィキペディア ネイピア数の自己増殖的な構造を見ていきます。 複利の頭を押さえつける定数がネイピア数。 素人が数学に挑戦　金利計算中に現れた不思議な定数、ネイピア数 e= 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …ネイピア数はこんな定数です。円周率と同じく無理数。ネイピア数はヤコブ・ベルヌーイが複利計算をしている最中に発見しました。銀行に金を預けると預けた額に数％付加... riku-nagahama.xyz 2021.11.01 式の原始的な形は↓ $\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(1+\dfrac{1}{n})^n{}$(複利)…① 預金の出し入れを高速高頻度で行い大金持ちになろうとしたネイピアを絶望させたのがネイピア数。 展開しいく前に指数が分数の指数法則の復習。 $x^{1}=x$(仮定) $x^{\frac{1}{n}･n}$(乗法逆元) $x^{n}･x^{\frac{1}{n}}$(指数定義) $x^{n}･x^{\frac{1}{n}}=x$(同値関係) よって $x^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{x^{n}}$ 例えば$2^{\frac{1}{2}}$なら$\frac{1}{4}$です。 すなわち、上の複利①の式は $\displaystyle \lim_{ n \to 0 }(1+n)^{\frac{1}{n}}$…② と言い換えられます。 ネイピア数の定義を変形 $\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{e^{h}-1}{h}=1$(定義) $\displaystyle \lim_{ h \to 0 }e^{h}-1=\displaystyle \lim_{ h \to 0}h$(乗法逆元) $\displaystyle \lim_{ h \to 0 }e^{h}=\displaystyle \lim_{ h \to 0}=h+1$(加法逆元) $e=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }(1+h)^{\frac{1}{h}}$(指数法則) $e=\displaystyle \lim_{ h \to \infty }(1+\dfrac{1}{h})^{h}$(②)…# 複利の式と同じ形が演繹されました。 要点は「極限をとると1になるのがネイピア数」です。同値変形のみなので、逆の演繹も成り立ちます。 指数の法則　複利の計算式 複利計算実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。(∗)x¹:=x,(∗∗)xn+1:=xⁿ×x(n≥1).x0を定義する場合には、関係式 (∗∗) が n = ... riku-nagahama.xyz 2025.07.13 $e^{x}$を微分すると $\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{e^{a+h}-e^{a}}{h}$(ネイピア数) $\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{e^{a}･e^{h}-e^{a}}{h}$(指数法則) $\displaystyle \lim_{ h \to \infty }e^{a}(\dfrac{e^{h}-1}{h})$(分配法則) $e^{a}･1$(ネイピア数定義) $e^{x}は$微分しても形が変わりません。 この形が嬉しいのは、指数法則でこのかたちに変形して式を簡単化できることがあるから。 以下はよもやま話。 数学とか物理学