3次元のベクトルを考える。
外積は二つのベクトルのx,yとの内積が0になるような、すなわち二つのベクトルx,yと垂直に交わるベクトルを作り出す操作です。
$⟨\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}⟩=0$(内積)…①
$⟨\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}⟩=0$(内積)…②

$x_{1}z_{1}+x_{2}z_{2}+x_{3}z_{3}=y_{1}z_{1}+y_{2}z_{2}+y_{3}z_{3}$…①

先頭の項を消したいので左辺に$y_{1}$右辺に$x_{1}$をかけて等号で繋ぎます。

$y_{1}x_{1}z_{1}+y_{1}x_{2}z_{2}+y_{1}x_{3}z_{3}$
$=x_{1}y_{1}z_{1}+x_{1}y_{2}z_{2}+x_{1}y_{3}z_{3}$(同値関係)
移行して先頭の項を消去。
$y_{1}x_{2}z_{2}-x_{1}y_{2}z_{2}+y_{1}x_{3}z_{3}-x_{1}y_{3}z_{3}=0$(ベクトル加法)
$(y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2})z_{2}+(y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3})z_{3}=0$(内積)

これは内積の規則を満たしますので、その形式に変形します。
$⟨(y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}),(y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3}),(z_{2},z_{3})⟩=0$(内積)
$(y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}),(y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3})⊥(z_{2},z_{3})$(垂直)…#1

また、
$-z_{3}z_{2}+z_{2}z_{3}=0$(仮定)
$⟨(-z_{3},z_{2}),(z_{2},z_{3})⟩=0$(内積)
よって#1より
$(-z_{3},z_{2})⊥(z_{2},z_{3})$
$z_{3}=-(y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2})=x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}$
$z_{2}=(y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3})$