努力の形

問題
100kmの全道程を50km/hで進むのと前半50kmを40km/hで進み、残りの50kmを60km/hで進む場合、速く100km先へ到着するのは？本当に同時？

イェンセンの不等式

離散の場合：

$\displaystyle p_{1},\,p_{2},\,\ldots $ を、$\displaystyle p_{1}+p_{2}+\cdots =1$ を満たす正の実数の列とする。また、

$\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,\ldots $ を、実数の列とする。そのとき、次が成り立つ。

$\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }p_{i}f(x_{i})\geq f\left(\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}x_{i}\right)$

連続値の場合：

$\displaystyle p(x)(>0)$ を、

$\displaystyle \int p(x)dx=1$ を満たす実数上の可積分関数とする。また、

$\displaystyle y(x)$ を実数上の可積分関数とする。そのとき、次が成り立つ。

$\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(y(x))p(x)dx\geq f\left(\int _{-\infty }^{\infty }y(x)p(x)dx\right)$

ルベーグ積分論の観点では、離散の場合も連続の場合も同一に見倣せる。

ウィキペディア

関数で送ってから積分と積分してから送ることは論理的に微妙な差を生む。

足して二乗することと二乗してから足すことの差。平均してから関数で送ることと関数で送ってから平均することの差。

$x=1,y=2,f(x)=x^{2}$
$(1+2)^{2}=9$(足してから入力)
$1^{2}+2^{2}=3$(入力してから足す)

100kmを進む場合

1.全道程を50kmで進む場合
100/50=2

2.前半の50kmを40km/h,後半の50kmを60km/hを半々で進む場合
50/40=1.25
50/60=0.83333333…
1.25+0.8333….=2.08333…

等速で進む場合と区間ごとに速度を変える場合を比較すると、すなわち、例えば不確実性に伴う変動(バラツキ)が起こる場合(後者)は、一時的に生じた線形性からの微妙な乖離が、時間や速度などを含めた他の変数との相互作用の程度によっては、予想からの乖離を著しく大きくすることがある。
一般的認知は線形、自然現象はバラツキが起こる、と仮定すると？

入力の平均化(単純化)は「バラツキの”形状が持つ意味”」を殺す。

入力のバラツキと関数の形状の関係が重要な成長の原動力になることがある。
凹関数は幸運が不運を相殺できない。よって必然的に不幸の渦に取り込まれる。一方で凸関数は変動に伴うダウンサイドを限定してアップサイドを突き抜けさせる。

努力の結果は時間的に累積し、かつその時のボラティリティや関数の形状が変数として作用して結果を変えてしまう。

初期に獲得した知識の蓄積はある閾値を超えるまでは小さなボラとしてシステムに吸収される(ように見える)。

閾値を超えると相互作用は劇的にその影響力を増大させる。線形なヒトの予測を超える結果を起こす。AIが「お前単純化し過ぎ」と怒っている理由。

ヒトは線形(近似)の認知に大きく依存している。指数関数的な予測が苦手。かつボラとそれが与える影響をノイズとして無視しがち。

ヒトを再帰的な関数と仮定してイェンセンの不等式を当てはめるなら