集合と認識と自然演繹

暇つぶしに見て

2024.06.302024.07.01

我流集合論

人の認識の規則を記号化したものが論理、それを拡張したのが集合、それをさらに拡張したのが関数、という過程の下なら、下記の関係が成り立つはずなので、それを証明します。(A⊂B)⇔(x∈A⇒x∈B)⇔(P(x)⇒Q(x))

集合 A の要素はすべて集合 B の要素でもあるとき、すなわち、∀x(x∈A→x∈B)が成り立つとき、A は B の部分集合であるといい、A⊆Bと表記する。
Wikipedia

Wikipediaにもそう記述されています。

自然数ならば整数である、という認識を考えてみます。整数をどう定義するかですが、とりあえずの便宜的に

ℤ={-1×x∣∀x∈ℕ}∨ℕ
こうします。
表記が公式に正しいかは気にしません。意訳すると「整数は自然数と自然数にマイナスをかけたものの和集合」。

自然数ならば整数であるの証明。

[ℕ]
ℕ∨-ℕ(∨導入)
ℤ(定義)
ℕ→ℤ(→導入)

ℕを「自然数である」って命題関数と捉えています。自然数ならば整数であるは真。

[(ℕ→ℤ)→T](前提)
(¬ℕ∨ℤ)→T(→言い換え)
(¬ℕ∨ℕ∨¬ℕ)→T(ℤ定義)
(T∨¬ℕ)→T(排中律)
(T)→T(恒真式)
¬T∨T(→言い換え)
T(排中律)
(ℕ→ℤ)→T⇔T

A,B,Cの集合があるとして。A⊂B⊂C(前提)
A→B→C(⊂定義)
[A](仮定)
B(→除去)
C(→除去)
A→C(→導入)A⊂B(⊂定義)

AはBの部分集合であり、BはCの部分集合ならば、AはCの部分集合である、が成り立ちます。ひとまず形だけは自然演繹の規則で集合が扱えるようにはなりました。