これの続き。

微分可能

微分の定義式からテイラー展開を導けないものかと。

$\displaystyle \lim_{ n \to 0 }f(a+h)-f(a)-ch=0$(仮定)
$=\displaystyle \lim_{ n \to 0 }f(a+h)-f(a)=ch$(加法逆元)
$=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{ch}{h}=c$(乗法逆元)
微分の定義式が現れました。

すなわち、
微分可能なら
$\displaystyle \lim_{ n \to 0 }f(a+h)-f(a)-ch=0$
を満たすcがあり、
$f(a+h)=f(a)+ch$…①
を満たすcか存在します。

テイラー展開の形に似ている。

二階微分

分数の分数については連分数展開関連でやってます。

直感的に導くなら
$\frac{1}{2}$(仮定)
$=\frac{\frac{2}{2}}{2}=\frac{2}{2･2}$…②

二階微分を連分数の形に直します。
$f”(a)=\frac{\frac{f(a+h+h)-f(a+h)}{h}-\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}{h}$(微分定義)
$=\frac{f(a+h+h)-f(a+h)-(f(a+h)-f(a)))}{h^{2}}$(②)

両辺に$h^{2}$をかけます。
$f”(a)･h^{2}=f(a+h+h)-f(a+h)-(f(a+h)-f(a)))$(乗法逆元)

極限で邪魔なやつを消します。
$f”(a)･h^{2}=f(a+h+h)-f(a+h)-(f(a+0)-f(a)))$(極限)
$f”(a)･h^{2}=f(a+h+h)-f(a+h)$(加法逆元)
移項して
$f”(a)･h^{2}+f(a+h)=f(a+h+h)$(加法逆元)

冒頭の①を代入してランダウ記号で近似。
$f”(a)･h^{2}+f(a)+f'(x)h+o(h)=f(a+h+h)$
$f(a+h+h)=f”(a)･h^{2}+f(a)+f'(a)h+o(h)$(交換法則)

$a$で微分可能ならテイラー展開っぽい式にはなるんだけど、テイラー展開ではない。テイラー展開は微分で出てくる係数を消去されてる。

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