自然数の乗法
定義
自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。
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すべての自然数 a に対して、a + 0 = a
すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)
1 := suc(0) と定義するならば、suc(b) = suc(b + 0) = b + suc(0) = b + 1 となり、b の後者とは単に b + 1 のことである。
加法が定義されたならば、自然数の乗法は再帰的に、以下のように定義できる。
1.すべての自然数 a に対して a × 0 = 0
2.すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + a
証明
1×0の証明は定義の通り。
1.S(0)×0(仮定)
2.0(乗法の定義1)
1×1=1も定義に従って。
1.S(0)×S(0)(仮定)
2.(S(0)×0)+S(0)(乗法定義2)
3.0+S(0)(乗法定義1)
4.S(0+0)(加法定義2)
5.S(0)(加法定義1)
ある集合 S において、以下の3つの性質をすべて満たす二項関係 ∼ は S 上の同値関係であるという。それらの性質とは S の任意の元 a, b, c に対して、
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反射律：a ∼ a.
対称律：a ∼ b ならば b ∼ a.
推移律：a ∼ b かつ b ∼ c ならば a ∼ c.
上の3つをまとめて同値律ということがよくある[1]。∼ が同値関係であるときに、a ∼ b であることを、a と b は同値であるという[1]。
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