テイラー展開

数学においてテイラー級数（テイラーきゅうすう、英: Taylor series）は、関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開（テイラーてんかい）という。

ウィキペディア

微分可能と多項式次近似

微分可能である→テイラー近似までの道のりを探す。

$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a)$(微分)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)=0$(加法逆元)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}-\dfrac{f'(a)h}{h}=0･h$(乗法逆元)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(a+h)-f(a)-f'(a)h}{h}=0$(分数加法)…①
$f(a+h)-f(a)-f'(a)=o(h)$(ランダウ記号)

各項のオーダーを確認。
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(a+0)-f(a)-f'(a)h}{h}=0$(①と極限)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{0-f'(a)h}{h}=0$(極限)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{-f'(a)h}{h}=0$(加法逆元)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }-1･\dfrac{-f'(a)h}{h}=-1･0$(乗法逆元)
$⇒f'(a)h=o(h)$(ランダウ記号)

$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(a+h)-f(a)-f'(a)･h}{h}=0$(①)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(a+h)-f(a)-f'(a)･0}{h}=0$(極限)
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(a+h)-f(a)+0}{h}=0$(乗法零元)
$f(a+h)-f(a)=o(h)$(ランダウ記号)

よって
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(a+h)-f(a)-f'(a)h}{h}=o(h)$
厳密には
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(a+h)-f(a)-f'(a)h}{h}≒ε$
誤差のεがあるんだけど、hと比較すると圧倒的に小さいから、極限をとればランダウ記号に従い無視できます。

結論。
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(a+h)-f(a)-f'(a)h}{h}≒ε$
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\dfrac{f(a+h)}{h}≒\dfrac{f(a)-f'(a)h}{h}+ε$
$\displaystyle \lim_{ h \to 0 }f(a+h)≒f(a)-f'(a)+εh$
$a$において微分可能なら
$f(a+h)=f(a)+f'(a)+o(h)$
が成り立つ。
テイラー展開の最初の項っぽいのが出現。