ベクトルの向きを取り出す(正規化)

数学とか

2026.02.272026.06.25

この話はどこかでやった気がしますが、その記事を探すのが面倒になったので復習もかねて再びやります。

ノルムが定義されたベクトル空間のベクトル v に対し、それにノルムの逆数 ‖ v ‖−1 を掛けてノルムが 1 であるベクトルにすることを、正規化という。

ウィキペディア

向き

向きは角度。
角度は三角形の辺の比。詳しくはラジアンについてを見てください。

$sinΘ:cosΘ=3:4$(仮定)
$\dfrac{sinΘ}{2}:\dfrac{cosΘ}{2}=\dfrac{3}{2}:2$
比は任意の実数で除した場合でも両者の比率は保たれます。

また、任意のベクトルは、
1.向きだけを規定する基底ベクトル
2.大きさを表すスカラーk
で表されます。

$k\boldsymbol{x}$(仮定)
$k\boldsymbol{x}÷k$(除法)
$\boldsymbol{x}$
ベクトルをスカラーkで除すと向きだけが取り出せます。

ベクトルのスカラーkだけを取り出せるのがノルムです。

すなわち、ベクトルをそのノルムで除したなら、向き(基底ベクトル)だけが取り出せます。

よってベクトルxの基底eは
$e:\boldsymbol{e}v\dfrac{\boldsymbol{x}}{\|\boldsymbol{x}\|}$
と定義されます。

外積においてもベクトルの向きは
$\dfrac{x×y}{\|x×y\|}$
で正規化できます。

また、外積のノルムはこの記事で証明した通り
$\|x×y\|=\|x\|\|y\|sinΘ$
よって$
e=\dfrac{x×y}{\|x\|\|y\|sinΘ}$
とすることで外積の向きだけを取り出せます。