連立方程式を簡単にしたい

数学とか

2026.01.272026.06.25

行列を連立方程式として考えてみる。

連立方程式
収集した行列の定理図鑑の活用
1. 逆行列 $A^{-1}$ の公式
2. $x = A^{-1}b$

連立方程式

\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x + 7y = 18 \end{cases}

上の式を2倍して $4x + 6y = 16$ を作る。
下の式から引き算して $(4x + 7y) - (4x + 6y) = 18 - 16$ より $y = 2$ を導く。
$y = 2$ を元の式に代入して $x = 1$ を出す。

この程度なら中学校で真面目に授業を受けてればやれます。

ただし仮に変数が1000個、1000行1000列とかになると手に負えなくなります。

「何を何倍して何を消して…」と、計算そのものの煩雑さもさることながら、どうすれば効率的に解が求まるのかを予想することですら困難です。かつ、100個中の1個消したところで…。

解を求めるまでの準備段階で詰みます。

仮に計算まで入れたとしても、結果的に解が存在しない関数だったら….解なしを導いてしまったら..、絶望で自〇もあり得ます。

自〇のを避けさせてくれるのが行列。

収集した行列の定理図鑑の活用

収集した定理を図鑑に登録し、いつでも参照できるようにしておきます。

上の連立方程式を行列形式 $Ax = b$ で表現すると。

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 18 \end{pmatrix}

ここで、行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 7 \end{pmatrix}$ について性質を図鑑で調べます。

逆行列 $A^{-1}$ の公式

$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$

$x = A^{-1}b$

$b$ を作用させます。

左辺のAは正方行列だから、逆行列を作用させれば単位行列に変形されます。

単位行列はベクトルに何もしない行列です。

すなわち
$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} =$
の形に行列を変形してくらます

演繹
$$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 18 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 56 – 54 \\ -32 + 36 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$$

今回の例だと行列積の方が煩雑に感じますが、次元が増えると既述のように話が変わってきます。

連立方程式のままだと、どの変数をどう消すのかを考えるのに膨大な時間がかかってしまいます。

しかし、上の逆行列を作用させる手順を用いれば機械的に解けます。

「計算を簡単にした」よりは「計算に入るまでの煩雑な過程」を「計算処理に組み込んだ」と言えると思います。

また、行列が潰れているか否か。つまり、計算で解を導き出せるのか否か、も行列を使えば機械的に判断できます。

ひたすら解のない問題に取り組むという自〇を防げます。

この視点で見るなら、行列が偉大な発明だってわかります。