1+2+3…n=の自然数の法則

股関節おじさんの勉強部屋

名前があるのかは不明な、ある自然数の法則を証明します。

あるnまでの自然数を足した値
1+2+3+…n=???
を導く法則。

まずは簡単な法則の仮説を立てます。
0+1から

0+1=1
n=1の場合は以下の式が仮説として立ちます。

n(n+1)/2=1

次にn=2

1+2=3
n=2
n(n+1)/2=3

次にn=3の場合

1+2+3=6
n=3
n(n+1)/2=6

1+2+3+…n=n(n+1)/2

という法則があることが予想できます。

また、

1+2+3+…n=n(n+1)/2

の法則が任意の自然数で成り立ち、その後者n+1=s(n)においてもそれが成り立つことが確認できるなら、数学的帰納法により全ての自然数において上の等式が成立することが証明されます。

1+2+3+…n=n(n+1)/2→1+2+3+…n+(n+1)=n(n+1)/2

式が長くなるので
1+2+3+…n+(n+1)=n(n+1)/2+(n+1)
の右辺だけ記述します。

n(n+1)/2+(n+1)(前提&数学的帰納法仮定)
n(n+1)/2+(n+1)/1(除法定義)
n(n+1)/2+2(n+1)/2(除法定義)
(n+1)(n+2)/2(乗法分配法則)
m=n+1
m(m+1)/2(代入)
n(n+1)/2+(n+1)→m(m+1)/2(→導入)

n+1した式を元の式と同じ形へ変形できました。
最初の証明と合わせると数学的帰納法が成立します。

説明不足な気がしますが、人まずは終わります。

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Die Hard – ダイ・ハード
この記事を書いた人

第41第東洋太平洋(OPBF)ウェルター級王者
元WBC世界同級34位
元WBO-AP同級3位
元角海老宝石ジム所属

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