同値関係について、また考える

股関節おじさんの勉強部屋

既に同値についてはどんな関係なのかを色々考えてきましたが、除法や減法のように我流で定義してみようと思います。

と言っても一度きちんとした定義は学んでいるので、なぜそのような定義になったのか?に個人的な文脈を与えます。

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同値関係

等しいの認識

一言で言えば同値とは必要十分条件です。
a→b∧b→a
aが真ならbも真かつbが真ならaも真。

長濱陸である→ボクサーである

前件が真なら後件も真となります。

しかし。
ボクサーである→長濱陸である

前件が真でも後件は真とはなりません、なので二つの命題は必要十分条件(等しい)と言えません。

前件の集合(前提条件)が大きすぎて後件の元が絞り込めません。
今回はやりませんが、前件の前提を追加して集合の範囲を絞り込めば後件の真も成立させられます。

恐らく、これが「写像」の認識の文脈です。写像は、人の認識を一般化した含意の規則を厳密化し、一般化した概念です(長濱説)。

反射律

長濱陸である→長濱陸である

は常に真となる認識(含意)です。

人の認識を厳密化し一般化していると考えた場合、同じ命題を結んだ関係
a〜a
は常に同値であってほしい。何故なら、この関係を僕らは等しいと感じるからです。

恐らく、これが反射率の文脈。

推移律

次に推移律。

長濱陸である→第41第OPBFウェルター級王者
第41第OPBFウェルター級王者→長濱陸である

これは必要十分条件を満たす真の認識。

石田ジム所属の32歳のプロボクサー→長濱陸である
長濱陸である→石田ジム所属の32歳のプロボクサー

これも必要十分条件を満たす真の認識。

石田ジム所属の32歳のプロボクサー⇔第41第OPBFウェルター級王者観⇔長濱陸である

この文の続き具合も等しくあってほしいですよね。人の認識として、です。

もう少し分かりやすく数字に直すなら

1×2=1+1=2

という風な関係が成立してほしいということ。僕たちは何故か生まれながらにこう認識するからです。

この関係を推移律と定義します。

次。

対称律

長濱陸である⇔第41第OPBFウェルター級王者

という命題の同値関係は

第41第OPBFウェルター級王者⇔長濱陸である

という風に前後を入れ替えても関係性は変化しないでほしい。同じであってほしい。

簡単な演算に直すと。

2+3=1×5
1×5=2+3

この加法と乗法の関係も文の続き具合だけで変化せず、同値であってほしい。

もしも命題の順序を入れ替えると関係が変化するなら、人の認識とは異なります。
人の認識を厳密化したのが数学なのだとしたら、人の認識とは矛盾しないでほしい。
少なくとも定義の時点では人の認識と一致していてほしい。

同値関係に我流の文脈を与えてみました。次は同値関係から演繹できる定理を考えてみます。なんとなく代入とか移項が求められそうな気がしています。

等しいについて

我流数学

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Die Hard – ダイ・ハード
この記事を書いた人

第41第東洋太平洋(OPBF)ウェルター級王者
元WBC世界同級34位
元WBO-AP同級3位
元角海老宝石ジム所属

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