未分類 論理和と論理積の分配法則 その4
引用の記事の続きです。(A∧B)∨(A∧C)→A∧(B∨C)とA∧(B∨C)→(A∧B)∨(A∧C)を証明して必要十分条件が成り立ちますが、後者の証明がされていませんでした。 というわけで下の同値関係の証明に挑戦。A∧(B∨C)⇔(A∧B)...
論理和
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股関節おじさんの勉強部屋 吸収律の証明
A⇔A∨(A∧B)A⇔A∧(A∨B)この定理が吸収律です、 吸収律 定義 吸収法則（きゅうしゅうほうそく、英: Absorption law）は、代数学において1対の二項演算を結びつける恒等式である。吸収律あるいは簡約律とも。任意の二項演算...
股関節おじさんの勉強部屋 選言三段論法
命題論理定理シリーズやっていきます。今回は選言的三段論法。 (A∨B)∧¬A→B(¬A∨B )∧A→A 選言的三段論法 定義 選言三段論法（せんげんさんだんろんぽう、英: Disjunctive syllogism）とは、論理学において、「...
股関節おじさんの勉強部屋 恒等式と恒偽式の定義と定理
恒等式と恒偽式（矛盾）の同値変形の定理について学びます。 恒等式と恒偽式 恒等式 【定義】ここでは古典命題論理における恒真式の定義を述べる。$\mathrm {Val}$ を命題変数の全体とする。$f:{\mathrm {Val}}\to ...
股関節おじさんの勉強部屋 論理和と論理積の分配法則 その3
(A∨B)∧(A∨C)⇔A∨(B∧C)は同値変形できたので、次はコレ。(A∧B)∨(A∧C)⇔A∧(B∨C) 論理和と論理積の分配法則 証明 1.,(仮定1,仮定2)2.A,B(∧除去)3.B∨C(∨導入)4.A∧(B∨C)(∧導入)5.A...
股関節おじさんの勉強部屋 論理積と論理和の結合法則
結合法則の演繹 命題論理の結合法則を自然演繹の推論規則から導いてみます。結合法則は加法なら (A+B)+C=A+(B+C) と同値変形できる法則のことです。 論理積の結合法則の証明 1.A∧(B∧C)(前提)2.A,B∧C(除去)3.A,B...
股関節おじさんの勉強部屋 論理積と論理和の分配法則 その2
論理積と論理和の分配法則 その1の続き。 証明 (A∨B)∧(A∨C)→A∨(B∧C)の同値変形を目指します。 1.(A∨B)∧(A∨C)2.A3.A∨(B∧C)(∨導入)4.A→A∨(B∧C)(→導入)5.,C6.B∧C(∧導入)7.A∨...
股関節おじさんの勉強部屋 論理積と論理和の分配法則 その1
今回はA∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)の分配法則です。 論理積と論理和の分配法則 前回と同じ戦略です。 証明 1.(仮定)2.A∨B(∨導入)4.A∨C(∨導入)5.(A∨B)∧(A∨C)(∧導入)6.A→(A∨B)∧(A∨C)(→導...
股関節おじさんの勉強部屋 論理和と論理積の交換法則
A∨B=B∨A,A∧B=B∧Aの自然演繹。 前提A,Bから出発して仮定の導入、解消でやれないか挑戦してみます。 論理和の交換法則 1.A∨B(前提)2.A(仮定1)3.B∨A(∨導入)4.A→B∨A(→導入.仮定1解消)5.B(仮定)6.B...
股関節おじさんの勉強部屋 論理和と論理積の冪等律
同値関係についてもう少し掘り下げてやろうと思います。 冪等律 冪等律 【冪等律】数学において、冪等性（べきとうせい、英: idempotence、「巾等性」とも書くが読み方は同じ）は、大雑把に言って、ある操作を1回行っても複数回行っても結果...
股関節おじさんの勉強部屋 仮説的導出と論理和の除去
A∨B⇔B∨Aに繋がりそうな考え方を学んでいきます。 仮説的導出と論理和の除去 【仮説的導出】数理論理学での一般的操作として、「仮定からの推論; reasoning from assumptions」がある。例として、次のような演繹過程を見...
股関節おじさんの勉強部屋 論理和除去と導入
後回しにしてた論理和の推論規則を学んでいきます。 論理和の導入と除去 ∨（論理和）導入 Wikipediaの説明が分かりやすいので引用します。 もし「P」という命題が真であれば、「PまたはQ」という命題もまた真である、という推論規則である。...