股関節おじさんの勉強部屋 加法と減法の認識
我流減法の次は我流で加法と減法の関係を定義します。 +と-の関係 加法と減法の認識の隙間を我流で埋めてみました。 a+b=c この加法が c-a=b この減法の形と関係していて欲しい。 つまりa+b=c→c-a=b が成立してほしい。と整合...
自然数
股関節おじさんの勉強部屋 股関節おじさんの勉強部屋 自然数の減法の規則を考える
自然数の減法の定義と解釈 数学的帰納法で遊ぼうと練習問題を探していると減法の定義を学ぶ必要が出てきました。 減法の定義 二つの数 a, b の加法と呼ばれる演算 + に対して、数 c がa + b = cという関係を満足するとき、演算子 −...
股関節おじさんの勉強部屋 数学的帰納法の雰囲気
気がついたら数学的帰納法について考えていました。どうしてそこに行き着いたのかは覚えていません。 順序関係から人の認識について思いを巡らせて「原因→結果の認識の規則の延長が順序で…」となったのは覚えてます。 つまり、例えば自転車を認識する時。...
股関節おじさんの勉強部屋 順序関係の認識そのニ
シコシコと認識について考えます。 今回は順序の認識。自然数は後者関数で定義されています。 後者関数の認識はどんなものか。1→2。1が真なら2も真になる含意。 1.先に1〜2の関係があって、2.それを認識の最小単位の含意で表現して、3.次にそ...
股関節おじさんの勉強部屋 順序の認識
自分で定義した関数を使って、∃∀の認識について遊びながらま学びます。 順序の認識 大小関係の演繹 5>1を証明します。簡易版だとこんな感じ 1.∃x(5=x+1)(仮定)2.5=4+1(∃除去)3.5=5(加法定義)4.∃x(5=x+1)(...
股関節おじさんの勉強部屋 大小関係を我流で定義
前回、大小関係の>を演繹してよい規則を勝手に作りましたので、その規則を一般化できるか試してみます。 我流大小関係 復習 記号⊢\vdash は、ターンスタイル（turnstile、回転扉）あるいはティー (tee) と呼ばれ、意味的には「生...
股関節おじさんの勉強部屋 一般化の雰囲気
∃除去の話の続き。∃除去、導入の推論規則を読んだだけだと、どうしてそれが必要なのかが感じられない。なんとなく、人が法則を一般化させる認識が根底にはあるんだろうな、とは感じられますが、しっくりはこない。 一般化の雰囲気 参考にしている本にこん...
股関節おじさんの勉強部屋 自然数の0×x=0の証明
x×0=0は定義通り。 0×x=0 証明 数学的帰納法を用います。 x=0の場合は定義通り。1.0×02.0…(1) x=1の場合1.0×1(仮定)2.(0×0)+0(定義)3.0+0(1)より4.0…(2) x=2の場合1.0+2(仮定)...
股関節おじさんの勉強部屋 自然数の0+x=xの証明
x+0=xは定義されていますが、逆バージョン0+x=xは証明定義されていませんのて証明していきます。 0+x=x 証明 1.0+0(仮定)1.0(加法定義)3.0+0⇔0…14.0+1(仮定)5.S(0+0)(加法定義)6.S(0)(1より...
股関節おじさんの勉強部屋 1×0=0と1×1=1の証明
自然数の乗法 定義 自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。すべての自然数 a に対して、a + 0 = aすべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)1 := suc(0) と定義するならば、...
股関節おじさんの勉強部屋 1+1=1×2の証明
自然数の加法と乗法 定義 自然数の加法は再帰的に、以下のように定義できる。1.すべての自然数 a に対して、a + 0 = a2.すべての自然数 a, b に対して、a + suc(b) = suc(a + b)1 := suc(0) と定...
股関節おじさんの勉強部屋 1+1=2の証明
1+1 =2の証明を定義から導きます。 自然数の加法 定義1.自然数 1 が存在する。2.任意の自然数 a にはその後者 (successor) の自然数 suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。3.異なる自...