暇つぶしに見て 真部分集合の定義
A⊂B⇒A=B これを自然演繹風に反証しようとした場合、真部分集合がないと不便だなと。 真部分集合 集合 A が集合 B の真部分集合であるとは、A ⊆ B かつ A ≠ B が成り立つことである。 Wikipedia とりあえずこの定義を...
論理学
暇つぶしに見て 暇つぶしに見て 形式的に定理を導く練習
数学の定義を記号として形式的に扱ったみる練習。 公理をペアノの公理という。 0 ∈ ℕ 任意の n ∈ ℕ について S(n) ∈ ℕ 任意の n ∈ ℕ について S(n) ≠ 0 任意の n, m ∈ ℕ について n ≠ m ならば ...
暇つぶしに見て ⊢と⊨と意味論と形式論
二つ同じ様に出てくるけど、と思って調べてみると意味が異なる様子。 形式論と意味論 ⊨ 主に意味論的な帰結関係に使われる。 「Γ ⊨ φ」と書いて「Γの全ての論理式が真であるなら、論理式φが真である」を意味する。 「M ⊨ Γ」と書いて「(事...
よもやま話 思考スタイルと文化
論理的な思考とは 最近の疑問。 「普遍的な正しさ」とは何か。 もっと言うと、「正しさ」と「正しさを証明する正しい手順」とは何かという疑問。 このモヤモヤを晴らすべく日に二冊ほどよんでいます。で、面白い本を見つけましたので共有します。 僕の疑...
暇つぶしに見て 矛盾からは何でも導ける証明
ふと、「矛盾からはどんな命題を導いても良い」と言える推論はどんなだろなと。 （数学的な意味での）矛盾の興味深い性質として、矛盾を含む体系においてはどんな命題を導くこともできる、というものがある Wikipedia そのような規則があると勝手...
暇つぶしに見て 公理主義と無定義用語へのフワッとした感想
数学を学んでいると、数学は認識世界の話であり現実の話をしているのではないと、深く理解できます。当たり前と言えば当たり前なんですが、人の性質はそれを忘れさせます。 僕の興味の範囲が徐々に絞られていくのを感じ、またそれは証明の手続きや概念の創造...
暇つぶしに見て 集合と認識と自然演繹
我流集合論 人の認識の規則を記号化したものが論理、それを拡張したのが集合、それをさらに拡張したのが関数、という過程の下なら、下記の関係が成り立つはずなので、それを証明します。(A⊂B)⇔(x∈A⇒x∈B)⇔(P(x)⇒Q(x)) 集合 A ...
暇つぶしに見て 集合と含意と認識
WIISの述語論理の章が終わり集合論へ突入するのでその前に自分なりに論理と集合を結びつけてみます。 部分集合と含意 集合と含意は人の認識を厳密に考える為のもので、同じものであるというのが長濱説です。含意と部分集合でそれを説明してみます。A⊆...
暇つぶしに見て 同値関係の議論
同値関係は長濱式では下のように定義しています。前提の同値関係が成立しない場合の議論はどんな風に結論されるのかなあと。 同値関係 A⇔B≔A→B∧B→A≔は定義するの記号。 ((A→B)→T∧(B→A)→T)→T(前提)¬((A→B)→T∧(...
暇つぶしに見て 正しい議論の形式
前件肯定、前件否定、後件肯定、後件否定の自然演繹っどんな感じなのかなあと我流で考えてみました。 前件肯定 ((A→B)∧A)→B(前提)¬((¬A∨B)∧A)∨B(→言い換え)¬(¬A∨B)∨¬A∨B(ド・モルガンの法則)¬(¬A∨B)∨(...
暇つぶしに見て 認識限界としての矛盾
ふと疑問に思ったことを考えてみます。 矛盾と恒真式の関係 「恒真式の否定(反対)は矛盾」という結論の正しさについて。 先にT⇔A∨¬Aと定義します。 ¬T→⊥(前提)¬(A∨¬A)→⊥(恒真式)¬¬(A∨¬A)∨⊥(→言い換え)A∨¬A∨⊥...
暇つぶしに見て 矛盾の認識
論理的に矛盾する関係（論理）ってどんなのがあるたまろうとふと思って考えて見ました。 矛盾は命題の如何に関わらず恒に偽となる式。例えば A∧¬A=⊥ 上の論理式は命題の真理値にかかわらず恒に偽となる論理式。つまり恒偽式=矛盾=⊥です。 この推...