数学とか 自然数の減法の規則を考える
自然数の減法の定義と解釈 数学的帰納法で遊ぼうと練習問題を探していると減法の定義を学ぶ必要が出てきました。 減法の定義 二つの数 a, b の加法と呼ばれる演算 + に対して、数 c がa + b = cという関係を満足するとき、演算子 −...
数学とか
数学とか 数学とか 自然数の偶数が無限に在ることの証明の雰囲気
数学的帰納法の雰囲気を味わいますり 自然数の乗法すべての自然数 a に対して a × 0 = 0すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + a自然数の加法すべての自然数 a に対して a × 0 = 0...
数学とか 数学的帰納法の雰囲気
気がついたら数学的帰納法について考えていました。どうしてそこに行き着いたのかは覚えていません。 順序関係から人の認識について思いを巡らせて「原因→結果の認識の規則の延長が順序で…」となったのは覚えてます。 つまり、例えば自転車を認識する時。...
数学とか 順序関係の認識そのニ
シコシコと認識について考えます。 今回は順序の認識。自然数は後者関数で定義されています。 後者関数の認識はどんなものか。1→2。1が真なら2も真になる含意。 1.先に1〜2の関係があって、2.それを認識の最小単位の含意で表現して、3.次にそ...
数学とか 順序の認識
自分で定義した関数を使って、∃∀の認識について遊びながらま学びます。 順序の認識 大小関係の演繹 5>1を証明します。簡易版だとこんな感じ 1.∃x(5=x+1)(仮定)2.5=4+1(∃除去)3.5=5(加法定義)4.∃x(5=x+1)(...
数学とか 大小関係を我流で定義
前回、大小関係の>を演繹してよい規則を勝手に作りましたので、その規則を一般化できるか試してみます。 我流大小関係 復習 記号⊢\vdash は、ターンスタイル（turnstile、回転扉）あるいはティー (tee) と呼ばれ、意味的には「生...
数学とか 大小関係の雰囲気
まだ論理学の範疇をウロウロしてる段階ですが、参考にしている本の中で大小関係の説明があったので、その文脈で大小関係を僕が解釈できるか挑戦します。 大小関係の雰囲気だけ 加法とし大小関係 本の中では下のような論理式で定義されています。 3>1⇔...
数学とか 一般化の雰囲気
∃除去の話の続き。∃除去、導入の推論規則を読んだだけだと、どうしてそれが必要なのかが感じられない。なんとなく、人が法則を一般化させる認識が根底にはあるんだろうな、とは感じられますが、しっくりはこない。 一般化の雰囲気 参考にしている本にこん...
数学とか 全称命題と存在命題の関係
wikiにこうあります。 全称命題は、存在命題の否定と論理的に等値である。 Wikipedia これを確かめたい。 全称命題否定と存在命題 証明 wikiの文章だけだと意味が捉えにくいので、僕なりの解釈で翻訳してみると恐らくは「命題Pを満た...
数学とか 存在除去の認識
存在除去 定義 ∃x∈X:A(x)⊢A(c)WIIS 命題Aを満たす集合Xの元xが存在する場合、∃の除去は妥当な推論である。またしても分かったような分からんような。 証明の途中で命題の定義を満たすような何がが演繹できたらってことなのだと思い...
数学とか 全称除去の定義と練習問題
述語論理における全称記号∀を取り除く推論規則を見ていきます。 別名を普遍例化と呼ぶようです。 全称除去(普遍例化) 定義 例:「全ての犬は動物である。ポチは犬である。従って、ポチは動物である」ある項 a について公理スキーマとして記号的に表...
数学とか 全称導入の練習問題
やりながら全称導入の理解を深めます。 全称導入 ∀x∀yP(x, y) ⊢ ∀y∀xP(x, y) 1.∀x∀yP(x, y)(前提)2.∀yP(x,y)(∀除去)3.P(x,y)(∀除去)4.∀xP(y)(∀導入)5.P(y,x)(∀導入...