数学とか 二次元の双対
集合の双対上の我流で「双対関係」に文脈を与える試みの続き。双対（そうつい、dual, duality）とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（双対...
数学とか
数学とか 数学とか 双対と概念の創造
双対の文脈を読解してみる再び双対と遭遇。こいつは強敵。そもそも論として「双対」とはなんぞや、と。字面は理解できます。が、「その心は？」が理解できません。何故数学界はコイツを仲間に加えたのか、という疑問です。そこは厳密に存在意義を評価される過...
数学とか 頭の体操 その二
A,B,C(仮定)A→A∨(B∨C)(∨導入→導入)B→A∨(B∨C)(∨導入→導入)C→A∨(B∨C)(∨導入→導入)A∨B(仮定)A∨(B∨C)(∨除去)A∨B→A∨(B∨C)(→導入)(A∨B)∨C(仮定)A∨(B∨C)(∨除去)(A...
数学とか 集合の濃度
参考書。勝手に解釈するとA〜Bは対応関係。一対一関係。集合A,Bの濃度a,bの定義。A〜B₁,B₁⊆Bという規則(関係)が当てはめられる何らかの対象A,Bは、「濃度」で説明できる。上で定義した関係は|A|≤|B|と別の記号へ変換可能。濃度の...
数学とか 頭の体操
集合Aの部分集合とはすなわちべき集合とその濃度。二つの要素を持つ集合のべき集合の要素数はA=aがあるB=bがあると定義すると要素の組み合わせは四通り(A,¬B)(¬A,B)(¬A,¬B)(A,B)べき集合の任意の要素xについては常に、「ある...
数学とか 集合と自然演繹と認識
上は素朴集合論の∪∩の定義から導かれる分配法則とその証明。以下は論理和と論理積の分配法則の自然演繹。1.(仮定)2.A∨B(∨導入)4.A∨C(∨導入)5.(A∨B)∧(A∨C)(∧導入)6.A→(A∨B)∧(A∨C)(→導入)7.(仮定)...
よもやま話 公理と証明と認識
公理と証明と認識この定義は発想が面白く、また根底にある考え方が有用だと感じたので共有します。これは極めて抽象的な文なので、「直線」を「親子関係」、「点」を「親」「子」と文字を置き換えても文が成立します。抽象度を高めて共通項以外を削ぎ落とした...
数学とか 3✕3魔法陣
最近、論理パズルにハマっています。良い問題なら一問で数時間、数日遊べるのでコスパ最強ですよ。紹介した書籍にはそれが何十問もあります。で、数百円。居酒屋で酒を飲むより、漫画を買うより、遥かにコスパが良い。しかも論理性も鍛えられる。遊戯王にハマ...
数学とか 真部分集合の定義
A⊂B⇒A=Bこれを自然演繹風に反証しようとした場合、真部分集合がないと不便だなと。真部分集合集合 A が集合 B の真部分集合であるとは、A ⊆ B かつ A ≠ B が成り立つことである。Wikipediaとりあえずこの定義を用います。...
数学とか 形式的に定理を導く練習
数学の定義を記号として形式的に扱ったみる練習。公理をペアノの公理という。0 ∈ ℕ任意の n ∈ ℕ について S(n) ∈ ℕ任意の n ∈ ℕ について S(n) ≠ 0任意の n, m ∈ ℕ について n ≠ m ならば S(n) ...
数学とか ⊢と⊨と意味論と形式論
二つ同じ様に出てくるけど、と思って調べてみると意味が異なる様子。形式論と意味論⊨主に意味論的な帰結関係に使われる。「Γ ⊨ φ」と書いて「Γの全ての論理式が真であるなら、論理式φが真である」を意味する。「M ⊨ Γ」と書いて「(事前に定まっ...
よもやま話 思考スタイルと文化
論理的な思考とは最近の疑問。「普遍的な正しさ」とは何か。もっと言うと、「正しさ」と「正しさを証明する正しい手順」とは何かという疑問。このモヤモヤを晴らすべく日に二冊ほどよんでいます。で、面白い本を見つけましたので共有します。僕の疑問への厳密...