対角線論法

$2^{ℕ}$の濃度

$2^{ℕ}$を下のように自然数と一対一対応をさせて並べます。

仮にこれが成立するなら、$2^{ℕ}$の濃度$ℵ_{0}$になります。

$a_{1}:\{\boldsymbol{1},2,3,\cdots\}$
$a_{2}:\{1,\boldsymbol{2},3,\cdots\}$
$a_{3}:\{1,2,\boldsymbol{3},4\cdots\}$
$a_{4}:\{1,2,3, \boldsymbol{}\cdots\}$
$\vdots$

自然数の冪集合の要素を集めて上のように構成した行列から対角線の要素だけを集めて新たな集合$A$を作ります。

斜めに線を引いて、その列の$a_{n}$に含まれていないものだけを集めた集合Bを作ります。

例えば上の場合は
$B:{4}$
となり、どの集合$a_{n}$とも異なります。

背理法により仮定の$|2^{ℕ}=|ℵ_{0}$が否定されます。

つまり
$|ℕ|<|2^{ℕ}|$

補足
$2^{ℕ}$は冪集合を表す記号です。

Amazon.co.jp

amzn.asia