行列勉強してて感じたその便利さについて。
行列の便利さ
抽象化
行列は抽象的には個々の数とその配列の持つ性質を要約してくれてる。
パッケージ化、コンパクト化、クラス化、何と言えばよいのか分んけど。入力と出力の関係を単純化してくれる。
例えば、数の配列を一つの構造として見られることは、膨大な計算を省略してくれる事がある。
$i=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
これは単位行列。
それは別の行列に作用させてもその性質を変えない。
$A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$(仮定)
$AI=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$(仮定)
$=\begin{bmatrix} a+0c &0a+b \\ c+0d & 0c+d \end{bmatrix}$(行列積)
$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$(実数加法と乗法0元)
要素個々の計算に落とし込むのはめんどくせー。やる気が失せる。
ただし、抽象的に上の形を単位行列と定義して、「単位行列は任意の行列に作用させてもその性質を変化させない」、と解釈すれば、面倒な計算の大部分を圧縮できる。
計算の圧縮
これを敷衍するなら、行列空間と同型の空間なら、単位行列の性質を応用して煩雑な計算を圧縮できる、と言える。
ミクロ空間の量子の複雑な振る舞いを要約してくれるのがマクロの力学。
マクロの力学空間では、ミクロの一々の動きを追跡しなくても全体としての動きをなんとなく(※)予測できる。
※ミクロ視点なら大雑把
それはミクロ的には間違った計算かもしれない。仮に、マクロのスケールを一般的な力学空間から乖離させて、超超巨大な空間と対応させるなら、もしかしたら計算が合わないかことが起こるかもしれない。超巨大ブラックホールとか。
あるいは、「歴史は韻を踏む」。
「歴史のリズム」は、ミクロの人々の複雑な相互作用を要約した”何か”。歴史(マクロ)にはリズムがあるよね？
歴史はミクロの動きを捨像して数理的にモデル化できるのかもしれない。
アイザックイシモフの心理歴史学みたいな。
とにかく、よく分からんけど、歴史って大きな構造には一定のリズムがあるように見える。
グローバルマクロ投資家や世界的な商人は、そのリズムが生み出す市場の歪みに巨大なレバレッジをかけて介入している。そして天文学的な利益を得ている。
経済を単一の構造(行列)として解釈すれば、その内部の細かい要素の相互作用を計算しなくても、全体の性質がなんとなく演繹できる。
天才投資家は経済(貨幣)を動かす個々の変数の挙動を無視して(※)、それを要約した巨大な構造のリズムとしてその性質を感じられる。
※合成(≒要約≒マクロ化)として解釈してるだけだから、差はあれど正確には無視とは言わないないけども
ジョージソロス
天才投資家として知られ「イングランド銀行を潰した男」(The Man Who Broke the Bank of England) の異名を取る。
他にも、ヒトは空気に含まれる分子の一つ一つの動きは予測できないが、それらが満たされている空間の状態はなんとなく予測でる。これもミクロの集積を構造(≒行列)として扱う一例かなと。
行列は厳密に個々の動きを要約しているから、つまり上の歴史の動きの例ように、細部を捨像して丸め込んでいるわけではないから、そこは区別する必要があるが、人々(各要素)の作用の一つ一つを圧縮(要約)した解釈を創造してくれるのが行列、と捉えられる。
「構造Aと構造Bの間には常に〇〇な性質がある」と、定理(要約)を大量にストックしておけば、煩雑な計算を省略できる。
コンピューターに単位行列と行列Aの行列積を一々計算させる必要がない。空間Xから空間YにAをそのまま送れ、と命令すれば良い。
他にも、「あれ、これでっかい単位行列じゃね？」という手がかりになる。
それは推論に必要な計算量を圧縮してくれる。
これって、ヒトの思考パターンですよね。
AはBに似ている、Bだと仮定してみよう。そうした場合はBCとACの間には差がある。この差を調べてみよう。
この差は〇〇に似ている。よし、〇〇だと仮定しよう。また差分が現れた。これは△△に似ている…
巨大過ぎて個々の計算に落とし込めない対象は、別の数理モデルに置き換えて計算不能な部分を捨像する、みたいなことをヒトは無意識にしますよね。
行列はその厳密化。大規模言語は行列とベクトルで記述されるようなので、上のヒトの行列計算と似たような推論を緻密に行っているだと思う。だから、ヒトにはそれが知性に見える。AIに知性があるのではなく、ヒトが知性と感じるアルゴリズムがAI。
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