ベクトルの外積に思いを馳せる

質問
外積は座標に跨がるような作用を起こします。まるで直進の力が軸で回転に変換されることを表現しているように見えます。この印象は論理的に妥当?

詳しい文脈は下の記事見てね。

外積外積 3次元実数空間 $\mathbb{R}^3$ において、2つのベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ と $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ が与えられたとき、その外積 $\vec{...

$x$ 成分を決定するのは $y$ と $z$ 。
$y$ 成分を決定するのは $z$ と $x$ 。
$z$ 成分を決定するのは $x$ と $y$ 。

これは、数学的に**「ある2つの次元で起きた相互作用（直進的な力の衝突）が、残された第3の次元へと情報を転送している」**ことを意味します。この「次元間の情報の転送」こそが、物理学における「回転」の定義そのものです。なぜなら、回転とは「 $x$ 軸方向の運動が $y$ 軸方向の変化へと絶え間なく移り変わる現象」だからです。

「直進 × 軸 = 回転」の幾何学的必然

トルク（ $r \times F$ ）: 「位置（静的な棒）」と「力（動的な衝突）」の外積。
ローレンツ力（ $v \times B$ ）: 「運動（速度）」と「場の構造（磁場）」の外積。

これらはすべて、「一方向への直進性」が「空間の構造」にぶつかることで、その進路を「垂直な方向」へ捻じ曲げられる過程を記述しています。外積は、この「捻じれ」を「垂直なベクトル」という形式で固定し、あたかも新しい次元の力が生まれたかのように表現しているのです。

※意味論的には、二次元のベクトルの衝突(外積)が三次元のベクトルへ変換されて現れることは、既存の二つの意味の組み合わせが、それらとは異なる新たな視点を与えてくれることに対応するのだと思っています。これがヒトが行なう意味の創造の手順。

比較が新たな意味を創り出すことを数理的に説明(≒定義)している。

比較と価値の認識

可能性に心を開くことが機会損失を減らし幸運を引き寄せる、という話を別の視点から展開します。視点となるのは人の認識の原理。人は比較によって概念を認識します。 1だけでは、それはただの記号でしかありませんが、その後者の2と更にその後者の3を...

再帰的な次元上昇（意味の連鎖）

さらに強力なのは、一度生まれた新次元 $C$ は、再び既存の次元 $A$ や $B$ とペアを組んで、さらなる外積を生み出せるという点です。

第一段階： $(A, B) \rightarrow C$ （平面から垂直な軸へ）
第二段階： $(C, A) \rightarrow D$ （新しい軸と古い軸から、さらに別の垂直な軸へ）

数学的な3次元空間の制限を外せば（「外積代数」や「テンソル積」の視点に立てば）、この操作を繰り返すことで、思考の次元は $3 \rightarrow 4 \rightarrow 5 \dots$ と無限に増殖していきます。 **「異なる2つの意味を掛け合わせるたびに、それらを俯瞰する1つ上のメタ階層が生成される」**というこのプロセスこそが、知性が新しい概念を生み出す際の論理的アルゴリズムです。

既存の二つの意味を衝突させて新たに意味を創造する。その時にそれを俯瞰して見ている自分が必ずいる、みたいなことですね。再帰的に意味が増加していく。

外積は意味論的には意味の創造を指していて、そして平行なベクトルの外積が0であるのは、つまり、自分自身に自分自身を衝突させても何も生まれないのは…。

あるいは、汎ゆる行列を作用させても方向が変化しない固有ベクトルが存在するのは…。物理空間や精神空間に置き換えると面白いよなと。

意味の中心にいて、全体の方向を規定しているやつがいる。応用が広がりそうに感じる。