余弦定理の導出

数学とか

2025.12.222026.03.23

単位円の性質$1^{2}=cos^{2}Θ+sin^{2}Θ$…①

$a^{2}=(c-bcosα))^{2}+(bsinα)^{2}$(①と三平方の定理)
$a^{2}=c^{2}+2bccosα+b^{2}cos^{2}α+b^{2}sin^{2}α$(展開公式)
$=(cos^{2}α+sin^{2}α)b^{2}+c^{2}-2bccosα$(分配法則)
$a^{2}=(1)b^{2}+c^{2}-2bccosα$(①)
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bccosα$(乗法単位元)

余弦定理完了。

頭の中で上の画像の頂点Cから垂線を下ろして直角三角形を二つ作ってください。三平方の定理を知っていればあとは何となく分かるはず。