ノルム
定義
K を実数体 R または複素数体 C（あるいは絶対値を備えた任意の位相体）とし、K 上のベクトル空間 V を考える。このとき任意の a ∈ K と任意の u, v ∈ V に対して、
独立性：‖ v ‖ = 0 ⇔ v = o
斉次性：‖ av ‖ = |a|‖ v ‖
劣加法性：‖ u + v ‖ ≤ ‖ u ‖ + ‖ v ‖（三角不等式）
を満たす関数 ‖ • ‖: V → R; x ↦ ‖ x ‖ を V のノルムと呼ぶ。
ベクトル
が与えられたとき、それに対して、と定義される実数
$\|\boldsymbol{x\|} = \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{n}+…x_{n}^{2}}$
$=\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}$をのノルム（norm）と呼びます。
ウィキは抽象的。なんのことか分からん。
WIISのは、ヒトが「距離(≒長さ)」と認識する時の感覚を規則化記号化したもの。多分。
二乗して√を被せるだけだから1次元ベクトルのノルムは絶対値と同値。
2次元のノルムの見た目は三平方の定理。…①
3次元のノルムは、①を底辺に持ち、3次元方向に値(高さ)を持つ直角三角形の三平方の定理。
2次元直交座標の原点Oから任意の点Aまでの距離(長さ)はxとyを二辺に持つ直角三角形の斜辺として定義(認識)できる。そう定義しても異論が起こる確率は低そう。
この感覚を一般化したのがノルム。
2次元や3次元の距離(≒長さ≒大きさ)の認識をn次元にまで拡張したらWIISの定義。
4次元空間を認識できるヒトは多分いない。だけど、それは3次元の感覚の延長線上にあるはず。その願いが「ノルム」。
P()は二つの数を与えると直角三角形の斜辺を返す関数。
$P(P(P(P((P(x_{1},x_{2})x_{3})x_{4})x_{5})…x_{n})$
こう入れ子構造にしたのがn次元ベクトルのノルム。
「”ノルム”、その心は」がなんとなく分かった所で次。
ウィキペディアの掴みどころのない定義を考える。
ノルムの性質
WIISの定義の性質を考えます。
ベクトルの独立性
ウィキペディアの独立性が求められるか。
$0<x⇒0<x^{2}$(数正同士の乗法)
$x<0⇒0<x^{2}$(負数同士の乗法)
$0<x∨x<0⇒0<x^{2}$(⇒導入)
二乗して正になる実数は存在しないので、
0=x^{2}⇒¬(0>x∨x>0)(対偶)
0=x^{2}⇒0>x∧x>0(ド・モルガンの法則)
0=x^{2}⇒0=x(三分律)
斉次性
$\|a\boldsymbol{x}\|$前提)
$\sqrt{(ax_{1})^{2}+(ax_{2})^{2}…(ax_{n})^{2}}$(ノルム定義)
$\sqrt{a^{2}･x_{1}^{2}+a^{2}･x_{2}^{2})…a^{2}･x_{n}^{2})}$(指数法則)
$\sqrt{a^{2}(x_{1}+x_{2}+…x_{n})}$(物理法則)
$|a|\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{n}^{2}}$(総和)
$|a|\|\boldsymbol{x}\|$(ノルム定義)
$\|a\boldsymbol{x}\|
$|a\|\boldsymbol{x}\|$
疲れたから終わり。
次は他のノルムの性質も考えます。
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