対角線論法
ステップ1：すべてリストアップできたと仮定する
0以上1未満のすべての実数を、1番目、2番目、3番目…と無限にリスト（表）にできたと仮定します。1番目：$0. \mathbf{a_{11}} a_{12} a_{13} a_{14} \dots$2番目：$0. a_{21} \mathbf{a_{22}} a_{23} a_{24} \dots$3番目：$0. a_{31} a_{32} \mathbf{a_{33}} a_{34} \dots$4番目：$0. a_{41} a_{42} a_{43} \mathbf{a_{44}} \dots$ステップ2：対角線の数字を取り出すリストの対角線上に並んだ数字（太字部分：$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{44} \dots$)を取り出します。ステップ3：対角線の数を操作して、新しい数字を作る
対角線論法。
$0≦x_{n}<1$の無理数の集合$A$を考える
1.無限個ある無理数を全て並べたと宣言#1
2.1の全行から一桁つづつ斜めに取っていく
3.2で選び取った各桁の数aをb≠aに変更
$0≦x_{n}<1$の無理数の集合$A$を考える
1.無限個ある無理数を全て並べたと宣言#1
2.1の全行から一桁つづつ斜めに取っていく
3.2で選び取った各桁の数aをb≠aに変更
上記の手順で構成された数列$x_{n}$の一行目$x_{1}$は、1番目の1行目$a_{11}$と構成上は必ず一致します。
同様に、$x_{2}$と2番目の二行目$a_{22}$と構成上は必ず一致します。
3番目、4番目にも同様の論理は通じます。
構成的に必ず一致する要素を変更してしまいます。
この場合、$x_{n}$は集合$A$に明らかに含まれていません。
よって、#1は矛盾。背理法が成立。
また、この手順は無限に繰り返せます。
つまり、#1は有理数の濃度$ℵ_{0}$であるから、無理数は有理数より多いと言い換えられます。
実無限vs潜在無限
同じ論法は有理数でもやれない？と思ったんですが、有理数は分数で構成すれば精々が有限列なんで、無限列が前提である上記の矛盾は構成できません。
無限の数列を構成できる無理数(≠有理数)だけに許された並べ方です。
$0<c<1$の有理数に極小の無理数を足せば、無理数+有理数=無理数なので、少なくとも有理数と同等$ℵ_{0}$の無理数が構成できます。
AIに、「数列の定義の構成が無理数を動的に生成しているだけだろ」と問うたら、バチクソ激しい議論になりました。
結論から言うと、僕の立場は構成主義や直観主義と呼ばれ、潜在無限を神として信仰する勢力なようです。
直観主義者は有限のステップによる証明しか認めません。数学的帰納法は”構成”しているからOKなのかな？
この立場は、上記のような背理法による無限の構成を許しません。それが数学的には厄介で、現代数学においては面倒な問題を起こすとのこと。
物理的には完全な「無限」「連続」「円」「三角形」は発見されていませんから、直観主義が論理的な誤りというよりは思想の差ですかね。
実無限や無理数を構成上の存在ではない、と認めたほうが計算が簡単になるから便利ってのは理解できます。ただし直観に反する。
直観的な「自然数は認識の仕組みとして無限に湧いてくるものだ」という立場どはなく、そこに「自然数が無限にあるのだ」とする立場をZFC集合論と呼びます。
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