無理数の濃度

数学とか

2026.06.012026.06.19

実無限vs潜在無限

AIに、「数列の定義の構成が無理数を動的に生成しているだけだろ」と問うてみました。

結論から言うと、僕の立場は構成主義や直観主義と呼ばれ、潜在無限を神として信仰する勢力なようです。

直観主義者は有限のステップによる証明しか認めません。数学的帰納法は無限回を”構成”しているからOKなのかな？

この立場は、上記のような背理法による無限の構成を許しません。それが数学的には厄介で、現代数学においては面倒な問題を起こすとのこと。

物理的には完全な「無限」「連続」「円」「三角形」は発見されていませんから、直観主義が論理的な誤りというよりは思想の差ですかね。

実無限や無理数を構成上の存在ではない、と認めたほうが計算が簡単になるから便利ってのは理解できます。ただし直観に反する。

直観的な「自然数は認識の仕組みとして無限に湧いてくるものだ」という立場どはなく、そこに「自然数が無限にあるのだ」とする立場をZFC集合論と呼びます。