実無限vs潜在無限
数学の学び方・教え方 (岩波新書 青版 822)
数学は、適切な教え方さえすれば、すべての子どもに理解できるはずのものである。こうした観点に立って、明治以来の数学教育の欠陥を指摘し、数学の土台と思われる量、数、集合と論理、空間と図形、変数と関数について、ていねいに説明する。父母、教師ならび...
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AIに、「数列の定義の構成が無理数を動的に生成しているだけだろ」と問うてみました。
結論から言うと、僕の立場は構成主義や直観主義と呼ばれ、潜在無限を神として信仰する勢力なようです。
直観主義者は有限のステップによる証明しか認めません。数学的帰納法は無限回を”構成”しているからOKなのかな？
この立場は、上記のような背理法による無限の構成を許しません。それが数学的には厄介で、現代数学においては面倒な問題を起こすとのこと。
物理的には完全な「無限」「連続」「円」「三角形」は発見されていませんから、直観主義が論理的な誤りというよりは思想の差ですかね。
実無限や無理数を構成上の存在ではない、と認めたほうが計算が簡単になるから便利ってのは理解できます。ただし直観に反する。
直観的な「自然数は認識の仕組みとして無限に湧いてくるものだ」という立場どはなく、そこに「自然数が無限にあるのだ」とする立場をZFC集合論と呼びます
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