対角線論法
ステップ1：すべてリストアップできたと仮定する
0以上1未満のすべての実数を、1番目、2番目、3番目…と無限にリスト（表）にできたと仮定します。1番目：$0. \mathbf{a_{11}} a_{12} a_{13} a_{14} \dots$2番目：$0. a_{21} \mathbf{a_{22}} a_{23} a_{24} \dots$3番目：$0. a_{31} a_{32} \mathbf{a_{33}} a_{34} \dots$4番目：$0. a_{41} a_{42} a_{43} \mathbf{a_{44}} \dots$ステップ2：対角線の数字を取り出すリストの対角線上に並んだ数字（太字部分：$a_{11}, a_{22}, a_{33}, a_{44} \dots$)を取り出します。ステップ3：対角線の数を操作して、新しい数字を作る
対角線論法。
$0≦x_{n}<1$の無理数の集合$A$を考える
1.無限個ある無理数を全て並べたと宣言#1
2.1の全行から一桁つづつ斜めに取っていく
3.2で選び取った各桁の数aをb≠aに変更
$0≦x_{n}<1$の無理数の集合$A$を考える
1.無限個ある無理数を全て並べたと宣言#1
2.1の全行から一桁つづつ斜めに取っていく
3.2で選び取った各桁の数aをb≠aに変更
上記の2で構成された数列$x_{n}$の一行目$x_{1}$は、1番目の1行目$a_{11}$と構成上は必ず一致します。
同様に、$x_{2}$と2番目の二行目$a_{22}$と構成上は必ず一致します。
3番目、4番目にも同様の論理は通じます。
構成的に必ず一致する要素を変更してしまいます。
この場合、$x_{n}$は集合$A$に明らかに含まれていません。
よって、#1は矛盾。背理法が成立します。
また、この手順は無限に繰り返せます。
つまり、#1は有理数の濃度$ℵ_{0}$であるから、無理数は有理数より多いと言い換えられます。
有理数の対角線論法
同じ論法は有理数でもやれない？と思ったんですが、有理数は分数で構成すれば精々が有限列なんで、無限列が前提である上記の矛盾は構成できません。
あるいは、無限循環少数だけを全て並べてみます。
無理数の対角線論法のように、対角線に並ぶ数を全て取り出して数列を構成します。
この斜めに取り出した数列が有理数である保証がありません。
また、仮に有理数であるなら$\frac{q}{n}$となるので、論理的に自然数との対応関係に吸収されてしまいます。
対角線に構成されていない有理数が出現する、とする仮定と矛盾します。
矛盾は構成できませんから、有理数の濃度は$ℵ_{0}$です。
無理数の対角線論法は無理数を並べた時点で新たな無理数を必ず構成できる余地が生まれましたが、有理数はそうなりません。
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