代数的数と超越数
テイラー展開から脱線しまくって今ここ。
ネイピア数eは「導関数が自分自身になる」関数。
それは、今の自分の存在が未来の自分により生起される奇妙な構成。
円周率は直径と円周の比。
円周を決める為にはその直径が、直径を決めるにはその円周が必要になります。
互いが互いを参照します。
ネイピア数eも円周率πも抽象的には同じ構造に見えます。未来の自分を参照して今の自分が決まります。違ってたらごめんなさい。
eとπは両者とも超越数です。
代数的数ではないのが超越数で、それは代数的数と対比される概念です。
代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、複素数であって、有理数係数（あるいは同じことだが、分母を払って、整数係数）の 0 でない一変数多項式の根（すなわち多項式の値が 0 になる値）となるものをいう。
代数的数
代数的数の具体例
有理数:
全ての有理数 $r$ は $x – r = 0$ の解になる代数的数です。逆元が存在する。
有理数の累乗根:
$\sqrt{2}$は$x^2 – 2 = 0$ の、$\sqrt[3]{-5}$ は$x^3 + 5 = 0$ の解になりますので、代数的数です。
複素数: 虚数単位 $i$ は$x^2 + 1 = 0$ の解になるので代数的数です。
ネイピア数のマクローリン展開
ネイピア数は微分したら自分自身になる数。つまり、無限階微分できる関数です。
無限回微分しても形が変わらない関数をマクローリン展開するなら、次のような多項式になる必要があります。
$f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$…①
一階微分します。
$f'(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
$f'(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
二階微分します。
$f”(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
$f”(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$
①は微分すると定数は消え、一次以上の項が左にズレます。つまり微分しても形が変わりません。
この式を0で展開するなら
$1$
$1$
1で展開なら
$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}\dots≒2.71828…$
$1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}\dots≒2.71828…$
特に a = 0 における以下のような展開
$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$
をマクローリン展開（マクローリンてんかい、英: Maclaurin expansion; 名称は数学者コリン・マクローリンに由来する）と呼ぶ。
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