$\boldsymbol{(x×y)×z=(x･z)y-(y･z)x}$
イメージ
外積の三重積？は内積で表現できる。
外積は二つのベクトルに垂直なベクトルを生成すること。
x,yに垂直な(x×y)、((x×y),z)に垂直な((x×y)×z)を、三次元空間でイメージすると分かりやすい。
基底ベクトルx,yに垂直な基底ベクトルz(=x×y)に垂直なベクトルは、xy平面に飛び出してくる(内積)、みたいなイメージ。
閑話休題。
$(x×y)×z$
証明。
三次元ベクトルの外積を考える。
$(x×y)$
$(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2},x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})$(外積)
二つのベクトルを一つのベクトルとして解釈。混乱の根を除去。
忘れないように=で結んでおく。
$\boldsymbol{w×z}=\boldsymbol{x×y}=w$(仮定)
$w_{1}=x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}$
$w_{2}=x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}$
$w_{3}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}$
先ずはwとzの外積を考える。
$(w×z)$(仮定)
$=(w_{2}z_{3}-w_{3}z_{2},w_{3}z_{1}-w_{1}z_{3},w_{1}z_{2}-w_{2}z_{1})$(外積)
$=((x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})z_{3}(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})z_{2},(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})z_{1}-(x_{1}y_{3}-x_{3}y_{2})z_{3},(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})z_{2}-(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})z_{1})$(代入)
目に悪いので成分ごとに分解して考える。
$(x×y)×z$の第一成分
$(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})z_{3}-(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})z_{2}$(仮定)
$x_{3}y_{1}z_{3}-x_{1}y_{3}z_{3}-x_{1}y_{2}z_{2}+x_{2}y_{1}z_{2}$(分配法則)
$x_{3}y_{1}z_{3}+x_{2}y_{1}z_{2}-x_{1}y_{2}z_{2}-x_{1}y_{3}z_{3}$(交換法則)
$y_{1}(x_{2}z_{2}+x_{3}z_{3})-x_{1}(y_{2}z_{2}+y_{3}z_{3})$(分配法則)…①
次は左辺の内積側。$(x･z)y-(y･z)x$の第一成分。
$(x_{1}z_{1}+x_{2}z_{2}+x_{3}z_{3})\boldsymbol{y}-(y_{1}z_{1}+y_{2}z_{2}+y_{3}z_{3})\boldsymbol{x}$(内積)
$x_{1}z_{1}y_{1}+x_{2}z_{2}y_{1}+x_{3}+z_{3}y_{1}-y_{1}z_{1}x_{1}+y_{2}z_{2}x_{1}-y_{3}z_{3}x_{1}$(内積)
$x_{2}z_{2}y_{1}+x_{3}z_{3}y_{1}-y_{2}z_{2}x_{1}+y_{3}z_{3}x_{1}$(加法逆元)
$y_{1}(x_{2}z_{2}+x_{3}z_{3})-x_{1}(y_{2}z_{2}+y_{3}z_{3})$(分配法則)…②
内積は添字が全て一致した場合に消去される。つまり、必ず異なる添字の組み合わせが残される。…∗
①=②
次は第二成分。∗の考え方と外積の添字の規則を応用する。
添字のの組み合わせは、抽象的には直交するベクトルの接続関係を表している。
つまり、例えば直交する三つのベクトルを考えた場合、xとyとzの記号としての意味を捨像するなら、xとyとzの記号と意味を入れ替えても抽象的な意味としては成立する。
具体的には、「xとyは直交」と「yとzは直交」は、記号が異なるだけ同じ意味とし解釈できる。
つまり、任意の記号とその右隣の記号を組み合わせる規則(外積)。
三次元ベクトルの外積を考えているから、x→1,y→2,z→3、と置き換えても意味は成立する※。
※宇宙にはx,y,zのような座標はない。誰かが「この方向がx」と決めた瞬間に、y,zは相対的に決定される。
(x,y,z)
=(1,2,3)
以上の記号を
=(2∨3と直交,1∨3と直交,1∨2と直交)
と、意味だけを取り出して解釈する。
この立場から①と②を解釈するなら、つまり、添字は「直交するベクトル」という、相対的な関係を表していると解釈するなら、第二成分、第三成分も同じような法則が成り立つと解釈することができる。
つまり、それぞれの添字が変わるだけで、「隣接する直交するベクトルを取り出す操作」、という意味は変わらない。
飛躍してる？
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