外積のたすき掛けって何やねん

3次元のベクトルを考える。
外積は二つのベクトルの内積が0になる、すなわち二つのベクトルと垂直に交わる(=意味が交わらない)ベクトルを作り出す操作。
$⟨\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}⟩=0$…①
$⟨\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}⟩=0$(内積)…②

$x_{1}z_{1}+x_{2}z_{2}+x_{3}z_{3}=y_{1}z_{1}+y_{2}z_{2}+y_{3}z_{3}$…①

先頭の項を消したいので左辺に$y_{1}$右辺に$x_{1}$をかけて等号で繋ぐ。
※いずれも0だから何をかけても0になる。すなわち等号で結べる。

$y_{1}x_{1}z_{1}+y_{1}x_{2}z_{2}+y_{1}x_{3}z_{3}$
$=x_{1}y_{1}z_{1}+x_{1}y_{2}z_{2}+x_{1}y_{3}z_{3}$(同値関係)
移行して先頭の項を消去。
$y_{1}x_{2}z_{2}-x_{1}y_{2}z_{2}+y_{1}x_{3}z_{3}-x_{1}y_{3}z_{3}=0$(ベクトル加法)
$(y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2})z_{2}+(y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3})z_{3}=0$(内積　分配法則)

$(y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2})z_{2}+(y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3})z_{3}=0$
これは内積の規則を満たします。変形。$⟨(y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}),(y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3}),(z_{2},z_{3})⟩=0$(内積)
$(y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}),(y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3})⊥(z_{2},z_{3})$(垂直定義)

また、
$-z_{3}z_{2}+z_{2}z_{3}=0$(仮定)
$⟨(-z_{3},z_{2}),(z_{2},z_{3})⟩$(内積)
よって
$z_{3}=-(y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2})=x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2}$
$z_{2}=(y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3})$

同様の方法で①第二項消す。左辺に$y_{2}$に右辺に$x_{2}$をかける。

$x_{1}z_{1}y_{2}+x_{3}z_{3}y_{2}-y_{1}z_{1}x_{2}-y_{3}z_{3}x_{2}=0$(0との乗法と加法逆元)
$(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})z_{1}+(x_{3}y_{2}-y_{3}x_{2})z_{3}=0$
内積前に変形。
$⟨(z_{1},z_{3}),(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2},(x_{3}y_{2}-y_{3}x_{2})⟩$
また
$z_{1}z_{3}-z_{3}z_{1}=0$(加法逆元)
$⟨(z_{1},z_{3}),(-z_{3},z_{1})⟩=0$(内積)
同値関係より
$z_{1}=-(x_{3}y_{2}-y_{3}x_{2})=y_{3}x_{2}-x_{3}y_{2}=0$

$\boldsymbol{z}=(y_{3}x_{2}-x_{3}y_{2},y_{1}x_{3}-x_{1}y_{3},x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})$

以上がたすき掛けの文脈。
二つのベクトルを用いてそれらと無関係や空間を作り出せると便利なことが多い。

例えば物体の衝突が回転力に変換されたり、音に変換されたり、熱に変換されたり、AIに任意の単語ベクトルの関係性を考えさせたりなど、物理的にも論理的にも二つの要素の作用を別の空間のヘクトルに変換できると便利なことが多い。