数学の定義を記号として形式的に扱ったみる練習。
公理主義と無定義用語へのフワッとした感想
数学を学んでいると、数学は認識世界の話であり現実の話をしているのではないと、深く理解できます。当たり前と言えば当たり前なんですが、人の性質はそれを忘れさせます。 僕の興味の範囲が徐々に絞られていくのを感じ、またそれは証明の手続きや概念の創造...
riku-nagahama.xyz
2024.07.15
公理をペアノの公理という[3][注 1]。
0 ∈ ℕ
任意の n ∈ ℕ について S(n) ∈ ℕ
任意の n ∈ ℕ について S(n) ≠ 0
任意の n, m ∈ ℕ について n ≠ m ならば S(n) ≠ S(m)
任意の E ⊆ ℕ について 0 ∈ E かつ任意の n ∈ ℕ について n ∈ E → S(n) ∈ E ならば E = ℕ
上の日本語の定義を論理式に変形しました。
これは演繹の前提になり、必要に応じて演繹の過程に登場させてよいとします。
1.0∈ℕ
2.∀n∈ℕ(n→S(n))
3.∀n∈ℕ(S(n)≠0)
4.∀n,m(n≠m→S(n)≠S(m))
5.∀E⊆ℕ,0∈E∧∀n∈ℕ,(n∈E→S(n)∈E)→E=ℕ
1≠1がペアノの公理の世界観では矛盾することの証明。
1≠1(仮定)
∀n,m(n≠m→S(n)≠S(m))(公理4)
1≠1→s(1)≠s(1)(∀除去)
s(1)≠s(1)(→除去)
¬(s(1)⇔s(1))(同値変形)
¬(s(1)→s(1)∧s(1)←s(1))(同値変形)
¬(¬s(1)∨s(1)∧¬s(1)∨s(1))(→言い換え)
¬(T∧T)(排中律)
¬(T)(べき等律)
⊥(¬除去)
1≠1→⊥(→導入)
多分こんな感じだろうと。
述語論理の我流の推論規則、定理を用いています。
必要十分条件と集合と同値関係
定義は定義として受け入れるとして、その心が知りたくなるのが人情。十分条件と必要条件を定義に背後にある心を考察していきます。 必要十分条件と同値関係 必要十分条件 というわけで十分と必要の日本語から。 【十分・充分】《ダナノ・副》物事が満ち足...
riku-nagahama.xyz
2023.03.29
代入原理と対称律と推移律
代入原理と同値関係 代入原理: 対象 a, b が a = b であるときには、一つの自由変数 x を含むどんな命題関数 P(x) についても P(a) ⇔ P(b) が（両辺ともに一意的な意味を持つ限りにおいて）常に成り立つ。Wikipe...
riku-nagahama.xyz
2024.02.25
奇数が無限にある証明
我流数学やっていきます。今回も数学的帰納法の練習。奇数が無限個あることを証明します。 奇数が無限個ある証明 2n-1+1+1(前提)2n+2-1(加法)2(n+1)-1(分配法則)2k-1(代入)2n-1+1+1→2k-1(→導入) nは自...
riku-nagahama.xyz
2024.01.07
自然数の偶数が無限に在ることの証明の雰囲気
数学的帰納法の雰囲気を味わいますり 自然数の乗法すべての自然数 a に対して a × 0 = 0すべての自然数 a, b に対して a × suc(b) = (a × b) + a自然数の加法すべての自然数 a に対して a × 0 = 0...
riku-nagahama.xyz
2023.11.22
数学的帰納法の雰囲気
気がついたら数学的帰納法について考えていました。どうしてそこに行き着いたのかは覚えていません。 順序関係から人の認識について思いを巡らせて「原因→結果の認識の規則の延長が順序で…」となったのは覚えてます。 つまり、例えば自転車を認識する時。...
riku-nagahama.xyz
2023.11.20
排中律の証明
排中律 定義 排中律（はいちゅうりつ、英: Law of excluded middle、仏: Principe du tiers exclu）とは、論理学において、任意の命題 P に対し"P ∨ ¬P"（P であるか、または P でない）...
riku-nagahama.xyz
2023.07.26
含意の色んな変形
暇なんで思いついた変形をつらつら証明します。 含意の同地変形 A→B,B→C⊢A→C 1.A→B,B→C2.(仮定)3.B(→除去)4.C(→除去)5.A→C(→導入) 自然演繹に慣れてくると当たり前な気もしますが。とりいず同値変形が証明で...
riku-nagahama.xyz
2023.09.14
コメント